Difference between revisions of "Team:Slovenia/ModelLogic"

(Undo revision 357872 by Lidijam (talk))
(Undo revision 357765 by Lidijam (talk))
Line 27: Line 27:
 
             }
 
             }
 
         })
 
         })
   
 
 
     </script>
 
     </script>
 
     <script type="text/javascript" async
 
     <script type="text/javascript" async
Line 86: Line 85:
 
                         </div>
 
                         </div>
 
                     </div>
 
                     </div>
                     <div>
+
                     <div class="ui segment"><span id="intro" class="section colorize"> &nbsp; </span>
                        <div class="ui segment"><span id="intro" class="section colorize"> &nbsp; </span>
+
                        <p>
                            <p>
+
                            Engineering and designing biological circuits constitute a central core of synthetic
                                Engineering and designing biological circuits constitute a central core of synthetic
+
                            biology. In
                                biology. In
+
                            the context of our
                                the context of our
+
                            iGEM
                                iGEM
+
                            project, one of the challenges was to create, tune and regulate novel pathways in living
                                project, one of the challenges was to create, tune and regulate novel pathways in living
+
                            cells
                                cells
+
                            using a
                                using a
+
                            fast-relay system.
                                fast-relay system.
+
                            The
                                The
+
                            <a href="https://2016.igem.org/Team:Slovenia/Protease_signaling/Orthogonality">toolset of
                                <a href="https://2016.igem.org/Team:Slovenia/Protease_signaling/Orthogonality">toolset of
+
                                orthogonal proteases</a>
                                    orthogonal proteases</a>
+
                            that we developed worked as input for <a
                                that we developed worked as input for <a
+
                                href="https://2016.igem.org/Team:Slovenia/Protease_signaling/Logic">logic
                                    href="https://2016.igem.org/Team:Slovenia/Protease_signaling/Logic">logic
+
                            function in mammalian cells</a>. Therefore, here we propose schemes for implementation
                                function in mammalian cells</a>. Therefore, here we propose schemes for implementation
+
                            of
                                of
+
                            all 16
                                all 16
+
                            two input
                                two input
+
                            binary logic functions based on a protein-protein interaction (coiled coil) and
                                binary logic functions based on a protein-protein interaction (coiled coil) and
+
                            proteolysis
                                proteolysis
+
                            system in cells. Designed logic gates based on
                                system in cells. Designed logic gates based on
+
                            protein-protein interaction are
                                protein-protein interaction are
+
                            expected to have a shorter time delay compared to their analogues based on transcription
                                expected to have a shorter time delay compared to their analogues based on transcription
+
                            activation
                                activation
+
                            <x-ref>Gaber:2014, Kiani:2014</x-ref>
                                <x-ref>Gaber:2014, Kiani:2014</x-ref>
+
                            .
                                .
+
                        </p>
                            </p>
+
  
                            <p>The main post-translational modification on which signaling and information processing
+
                        <p>The main post-translational modification on which signaling and information processing
                                systems
+
                            systems
                                are based is
+
                            are based is
                                protein
+
                            protein
                                phosphorylation, which enables reversibility and fast response. Proteolysis is on the
+
                            phosphorylation, which enables reversibility and fast response. Proteolysis is on the
                                other
+
                            other
                                hand
+
                            hand
                                irreversible,
+
                            irreversible,
                                which
+
                            which
                                imposes some limitations with respect to phosphorylation. However for many applications
+
                            imposes some limitations with respect to phosphorylation. However for many applications
                                fast
+
                            fast
                                activation is most
+
                            activation is most
                                important, while the time to reset the system in the resting state is of secondary
+
                            important, while the time to reset the system in the resting state is of secondary
                                importance.</p>
+
                            importance.</p>
  
                            <p>Our protein-based system is designed in such a way that it works through coiled coil
+
                        <p>Our protein-based system is designed in such a way that it works through coiled coil
                                interactions, where each
+
                            interactions, where each
                                coiled
+
                            coiled
                                coil in the system is either free or bound to its partner depending on the proteolytic
+
                            coil in the system is either free or bound to its partner depending on the proteolytic
                                activity.
+
                            activity.
                                Furthermore,
+
                            Furthermore,
                                the
+
                            the
                                signal
+
                            signal
                                output is represented by reconstitution of a split protein (<i>i.e.</i> luciferase or
+
                            output is represented by reconstitution of a split protein (<i>i.e.</i> luciferase or
                                protease),
+
                            protease),
                                which
+
                            which
                                is fused
+
                            is fused
                                separately
+
                            separately
                                to
+
                            to
                                different coiled coil segments. To prove the feasibility of this design, we simulated
+
                            different coiled coil segments. To prove the feasibility of this design, we simulated
                                the
+
                            the
                                system's behavior
+
                            system's behavior
                                using
+
                            using
                                deterministic modeling. The simulations were run in Wolfram Mathematica, using
+
                            deterministic modeling. The simulations were run in Wolfram Mathematica, using
                                xCellerator's
+
                            xCellerator's
                                xlr8r
+
                            xlr8r
                                libraries.</p>
+
                            libraries.</p>
  
                            <p>The designed binary logic gates can be divided into 5 subgroups, based on the position of
+
                        <p>The designed binary logic gates can be divided into 5 subgroups, based on the position of
                                the
+
                            the
                                protease cleavage
+
                            protease cleavage
                                sites:</p>
+
                            sites:</p>
                            <ul>
+
                        <ul>
                                <li>a) cleavage site between coiled-coils: conjunction, disjunction and both projection
+
                            <li>a) cleavage site between coiled-coils: conjunction, disjunction and both projection
                                    functions;
+
                                functions;
                                </li>
+
                            </li>
                                <li>b) cleavage site between the coiled-coil and split protease: logical NAND, logical
+
                            <li>b) cleavage site between the coiled-coil and split protease: logical NAND, logical
                                    NOR
+
                                NOR
                                    and
+
                                    both
+
                                    negations;
+
                                </li>
+
                                <li>c) cleavage sites between coiled-coils as well as between the coiled-coil and split
+
                                    protease
+
                                    in
+
                                    the same construct: material implication and converse implication;
+
                                </li>
+
                                <li>
+
                                    d) cleavage sites between coiled-coils as well as between the coiled-coil and split
+
                                    protease
+
                                    in
+
                                    different constructs: exclusive disjunction, logical biconditional, material
+
                                    nonimplication
+
                                    and
+
                                    converse
+
                                    nonimplication;
+
                                </li>
+
                                <li>e) no cleavage sites: tautology and contradiction.</li>
+
                            </ul>
+
 
+
                            <p>
+
                                For applications that require fast response (<i>e.g.</i> protein secretion), which are
+
                                the purpose
+
                                of
+
                                our attempt, only
+
                                falsity
+
                                preserving gates are appropriate, as biological systems usually require fast activation
+
 
                                 and
 
                                 and
                                 not
+
                                 both
                                fast
+
                                 negations;
                                deactivation.
+
                             </li>
                                The
+
                             <li>c) cleavage sites between coiled-coils as well as between the coiled-coil and split
                                following functions correspond to the desired condition: both projection functions,
+
                                 protease
                                 conjunction,
+
                                disjunction,
+
                                exclusive
+
                                disjunction, material nonimplication, converse nonimplication and true.
+
                             </p>
+
                             <p>
+
                                Since the dynamics of both functions in subgroup e) is trivial, <i>i.e.</i> output is a
+
                                constant,
+
                                their
+
                                modeling is
+
                                omitted.
+
                                We selected a single function from the other four subgroups, for which a mathematical
+
                                model
+
                                was
+
                                established and
+
                                analyzed. We selected the following functions $f_1(x_1, x_2) = x_1$ from subgroup a),
+
                                $f_2(x_1,
+
                                x_2) = \neg(x_1
+
                                \vee
+
                                x_2)$ from b), $f_3(x_1, x_2) = x_2 \Rightarrow x_1$ from c) and $f_4(x_1, x_2) =
+
                                \neg(x_1
+
                                \Rightarrow x_2)$
+
                                from
+
                                d).
+
                            </p>
+
                            <p>
+
                                Inducible proteases were assumed as the two input variables for each function. The
+
                                logical
+
                                values true and false
+
                                were in
+
                                all the cases presented with high and low amounts of output proteins or input proteases,
+
                                respectively. Where the
+
                                output
+
                                signal is presented with several different proteins, the sum of their concentrations was
+
                                observed. The schemes
+
                                of
+
                                the
+
                                assumed reactions included in the implementation of described logical functions are
+
                                 represented
+
 
                                 in
 
                                 in
                                 <ref>fig:scheme_buffer</ref>
+
                                 the same construct: material implication and converse implication;
                                 ,
+
                            </li>
                                 <ref>fig:scheme_nor</ref>
+
                            <li>
                                 ,
+
                                 d) cleavage sites between coiled-coils as well as between the coiled-coil and split
                                 <ref>fig:schemes_imply</ref>
+
                                 protease
 +
                                 in
 +
                                different constructs: exclusive disjunction, logical biconditional, material
 +
                                 nonimplication
 
                                 and
 
                                 and
                                 <ref>fig:schemes_nimply</ref>
+
                                 converse
                                 . All
+
                                 nonimplication;
                                of
+
                             </li>
                                them ignore the leakage due to the binding of the coiled-coils before cleavage, which
+
                             <li>e) no cleavage sites: tautology and contradiction.</li>
                                could
+
                        </ul>
                                be
+
                                solved by setting
+
                                the
+
                                building elements with appropriate parameters as demonstrated in the experimental
+
                                section on
+
                                the
+
                                <a
+
                                        href="https://2016.igem.org/Team:Slovenia/Protease_signaling/Logic">CC-based
+
                                    logic
+
                                    design. </a>
+
                             </p>
+
                             <div style="float:left; width:100%">
+
                                <figure data-ref="fig:scheme_buffer">
+
                                    <img
+
                                            src="https://static.igem.org/mediawiki/2016/2/20/T--Slovenia--5.5.2.png">
+
                                    <figcaption><b>Scheme of the modeled function $f_1$.</b>
+
                                        The output is represented with the
+
                                        emission of
+
                                        light induced
+
                                        by
+
                                        reconstitution of the split firefly luciferase reporter.
+
  
                                    </figcaption>
+
                        <p>
                                </figure>
+
                            For applications that require fast response (<i>e.g.</i> protein secretion), which are
                             </div>
+
                            the purpose
 +
                            of
 +
                            our attempt, only
 +
                            falsity
 +
                            preserving gates are appropriate, as biological systems usually require fast activation
 +
                            and
 +
                            not
 +
                            fast
 +
                            deactivation.
 +
                            The
 +
                            following functions correspond to the desired condition: both projection functions,
 +
                            conjunction,
 +
                            disjunction,
 +
                            exclusive
 +
                            disjunction, material nonimplication, converse nonimplication and true.
 +
                        </p>
 +
                        <p>
 +
                             Since the dynamics of both functions in subgroup e) is trivial, <i>i.e.</i> output is a
 +
                            constant,
 +
                            their
 +
                            modeling is
 +
                            omitted.
 +
                            We selected a single function from the other four subgroups, for which a mathematical
 +
                            model
 +
                            was
 +
                            established and
 +
                            analyzed. We selected the following functions $f_1(x_1, x_2) = x_1$ from subgroup a),
 +
                            $f_2(x_1,
 +
                            x_2) = \neg(x_1
 +
                            \vee
 +
                            x_2)$ from b), $f_3(x_1, x_2) = x_2 \Rightarrow x_1$ from c) and $f_4(x_1, x_2) =
 +
                            \neg(x_1
 +
                            \Rightarrow x_2)$
 +
                            from
 +
                            d).
 +
                        </p>
 +
                        <p>
 +
                            Inducible proteases were assumed as the two input variables for each function. The
 +
                            logical
 +
                            values true and false
 +
                            were in
 +
                            all the cases presented with high and low amounts of output proteins or input proteases,
 +
                            respectively. Where the
 +
                            output
 +
                            signal is presented with several different proteins, the sum of their concentrations was
 +
                            observed. The schemes
 +
                            of
 +
                            the
 +
                            assumed reactions included in the implementation of described logical functions are
 +
                            represented
 +
                            in
 +
                            <ref>fig:scheme_buffer</ref>
 +
                            ,
 +
                            <ref>fig:scheme_nor</ref>
 +
                            ,
 +
                            <ref>fig:schemes_imply</ref>
 +
                            and
 +
                            <ref>fig:schemes_nimply</ref>
 +
                            . All
 +
                            of
 +
                            them ignore the leakage due to the binding of the coiled-coils before cleavage, which
 +
                            could
 +
                            be
 +
                            solved by setting
 +
                            the
 +
                            building elements with appropriate parameters as demonstrated in the experimental
 +
                            section on
 +
                            the
 +
                            <a
 +
                                    href="https://2016.igem.org/Team:Slovenia/Protease_signaling/Logic">CC-based
 +
                                logic
 +
                                design. </a>
 +
                        </p>
 +
                        <div style="float:left; width:100%">
 +
                            <figure data-ref="fig:scheme_buffer">
 +
                                <img
 +
                                        src="https://static.igem.org/mediawiki/2016/2/20/T--Slovenia--5.5.2.png">
 +
                                <figcaption><b>Scheme of the modeled function $f_1$.</b>
 +
                                    The output is represented with the
 +
                                    emission of
 +
                                    light induced
 +
                                    by
 +
                                    reconstitution of the split firefly luciferase reporter.
  
                            <div style="float:left; width:100%">
+
                                 </figcaption>
                                 <figure data-ref="fig:scheme_nor">
+
                            </figure>
                                    <img
+
                        </div>
                                            src="https://static.igem.org/mediawiki/2016/c/c7/T--Slovenia--5.5.3.png">
+
                                    <figcaption><b>Scheme of the modeled function $f_2$.</b>
+
                                        The output is represented with the
+
                                        emission
+
                                        of light induced
+
                                        by
+
                                        reconstitution of the split firefly luciferase reporter.
+
                                    </figcaption>
+
                                </figure>
+
                            </div>
+
  
                            <div style="float:left; width:100%">
+
                        <div style="float:left; width:100%">
                                <figure data-ref="fig:schemes_imply">
+
                            <figure data-ref="fig:scheme_nor">
                                    <img
+
                                <img
                                            src="https://static.igem.org/mediawiki/2016/c/c1/T--Slovenia--5.5.4.png">
+
                                        src="https://static.igem.org/mediawiki/2016/c/c7/T--Slovenia--5.5.3.png">
                                    <figcaption><b>Scheme of the modeled function $f_3$.</b>
+
                                <figcaption><b>Scheme of the modeled function $f_2$.</b>
                                        The output is represented with the
+
                                    The output is represented with the
                                        emission
+
                                    emission
                                        of light induced
+
                                    of light induced
                                        by
+
                                    by
                                        reconstitution of the split firefly luciferase reporter.
+
                                    reconstitution of the split firefly luciferase reporter.
                                    </figcaption>
+
                                </figcaption>
                                </figure>
+
                             </figure>
                             </div>
+
                            <div style="float:left; width:100%">
+
                                <figure data-ref="fig:schemes_nimply">
+
                                    <img
+
                                            src="https://static.igem.org/mediawiki/2016/5/59/T--Slovenia--5.5.5.png">
+
                                    <figcaption><b>Scheme of the modeled function $f_4$.</b>
+
                                        The output is represented with the
+
                                        emission
+
                                        of light induced
+
                                        by
+
                                        reconstitution of the split firefly luciferase reporter.
+
                                    </figcaption>
+
                                </figure>
+
                            </div>
+
                            <p style="clear:both"></p>
+
 
                         </div>
 
                         </div>
 +
 +
                        <div style="float:left; width:100%">
 +
                            <figure data-ref="fig:schemes_imply">
 +
                                <img
 +
                                        src="https://static.igem.org/mediawiki/2016/c/c1/T--Slovenia--5.5.4.png">
 +
                                <figcaption><b>Scheme of the modeled function $f_3$.</b>
 +
                                    The output is represented with the
 +
                                    emission
 +
                                    of light induced
 +
                                    by
 +
                                    reconstitution of the split firefly luciferase reporter.
 +
                                </figcaption>
 +
                            </figure>
 +
                        </div>
 +
                        <div style="float:left; width:100%">
 +
                            <figure data-ref="fig:schemes_nimply">
 +
                                <img
 +
                                        src="https://static.igem.org/mediawiki/2016/5/59/T--Slovenia--5.5.5.png">
 +
                                <figcaption><b>Scheme of the modeled function $f_4$.</b>
 +
                                    The output is represented with the
 +
                                    emission
 +
                                    of light induced
 +
                                    by
 +
                                    reconstitution of the split firefly luciferase reporter.
 +
                                </figcaption>
 +
                            </figure>
 +
                        </div>
 +
                        <p style="clear:both"></p>
 
                     </div>
 
                     </div>
                     <div>
+
                     <div class="ui segment">
                        <div class="ui segment">
+
                        <h3><span id="model" class="section colorize"> &nbsp; </span>Deterministic modeling</h3>
                            <h3><span id="model" class="section colorize"> &nbsp; </span>Deterministic modeling</h3>
+
                        We have established the following ordinary differential equations (ODEs) based model:
                            We have established the following ordinary differential equations (ODEs) based model:
+
                        <h4>Projection function $f_1$</h4>
                            <h4>Projection function $f_1$</h4>
+
                        \begin{align}
                            \begin{align}
+
                        v'(t) =&
                            v'(t) =&
+
                        \alpha_2 - \delta_1 * v(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\
                            \alpha_2 - \delta_1 * v(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\
+
                        u'(t) =&
                            u'(t) =&
+
                        \alpha_2 - \delta_1 * u(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l(t) + \sigma_2 * p_1'(t), \\
                            \alpha_2 - \delta_1 * u(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l(t) + \sigma_2 * p_1'(t), \\
+
                        g'(t) =& \alpha_1- \delta_1 * g(t) - \tau * g(t) * p_1(t), \\
                            g'(t) =& \alpha_1- \delta_1 * g(t) - \tau * g(t) * p_1(t), \\
+
                        g_1'(t) =& -\delta_1 * g_1(t) + \gamma_2 * g_1g_2(t) +
                            g_1'(t) =& -\delta_1 * g_1(t) + \gamma_2 * g_1g_2(t) +
+
                        \beta_2 * g_1i(t) - \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t) - \beta_1 * g_1(t) * i(t), \\
                            \beta_2 * g_1i(t) - \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t) - \beta_1 * g_1(t) * i(t), \\
+
                        g_1g_2'(t) =& -\gamma_2 * g_1g_2(t) + \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t) +
                            g_1g_2'(t) =& -\gamma_2 * g_1g_2(t) + \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t) +
+
                        \tau * g(t) * p_1(t), \\
                            \tau * g(t) * p_1(t), \\
+
                        g_1i'(t) =& -\delta_1 * g_1i(t) - \beta_2 * g_1i(t) +
                            g_1i'(t) =& -\delta_1 * g_1i(t) - \beta_2 * g_1i(t) +
+
                        \beta_1 * g_1(t) * i(t), \\
                            \beta_1 * g_1(t) * i(t), \\
+
                        g_2'(t) =&
                            g_2'(t) =&
+
                        \gamma_2 * g_1g_2(t) - \delta_1 * g_2(t) - \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t), \\
                            \gamma_2 * g_1g_2(t) - \delta_1 * g_2(t) - \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t), \\
+
                        i'(t) =&
                            i'(t) =&
+
                        \alpha_1+ \beta_2 * g_1i(t) - \delta_1 * i(t) - \beta_1 * g_1(t) * i(t),\\
                            \alpha_1+ \beta_2 * g_1i(t) - \delta_1 * i(t) - \beta_1 * g_1(t) * i(t),\\
+
                        p_1'(t) =& \sigma_1 * v(t) * u(t) * l(t) - \sigma_2 * p_1(t)
                            p_1'(t) =& \sigma_1 * v(t) * u(t) * l(t) - \sigma_2 * p_1(t)
+
                        \end{align}
                            \end{align}
+
  
                            <h4>Logical NOR $f_2$</h4>
+
                        <h4>Logical NOR $f_2$</h4>
                            \begin{align}
+
                        \begin{align}
                            c'(t) =&
+
                        c'(t) =&
                            \alpha_1- \delta_1 * c(t) + \beta_2 * cd(t) - \beta_1 * c(t) * d(t) -
+
                        \alpha_1- \delta_1 * c(t) + \beta_2 * cd(t) - \beta_1 * c(t) * d(t) -
                            \tau * c(t) * p_1(t), \\
+
                        \tau * c(t) * p_1(t), \\
                            c_1'(t) =& -\delta_1 * c_1(t) + \tau * c(t) * p_1(t) +
+
                        c_1'(t) =& -\delta_1 * c_1(t) + \tau * c(t) * p_1(t) +
                            \tau * cd(t) * p_1(t), \\
+
                        \tau * cd(t) * p_1(t), \\
                            c_2'(t) =& -\delta_1 * c_2(t) + \tau * c(t) * p_1(t), \\
+
                        c_2'(t) =& -\delta_1 * c_2(t) + \tau * c(t) * p_1(t), \\
                            c_2d'(t) =& \tau * cd(t) * p_1(t), \\
+
                        c_2d'(t) =& \tau * cd(t) * p_1(t), \\
                            cd'(t) =& -\delta_1 * cd(t) - \beta_2 * cd(t) +
+
                        cd'(t) =& -\delta_1 * cd(t) - \beta_2 * cd(t) +
                            \beta_1 * c(t) * d(t) - \tau * cd(t) * p_1(t) - \tau * cd(t) * p_2(t), \\
+
                        \beta_1 * c(t) * d(t) - \tau * cd(t) * p_1(t) - \tau * cd(t) * p_2(t), \\
                            cd_2'(t) =& \tau * cd(t) * p_2(t), \\
+
                        cd_2'(t) =& \tau * cd(t) * p_2(t), \\
                            v'(t) =&
+
                        v'(t) =&
                            \alpha_2 - \delta_1 * v(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\
+
                        \alpha_2 - \delta_1 * v(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\
                            w'(t) =&
+
                        w'(t) =&
                            \alpha_2 - \delta_1 * w(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t)+ \sigma_2 * p_2(t), \\
+
                        \alpha_2 - \delta_1 * w(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t)+ \sigma_2 * p_2(t), \\
                            u'(t) =&
+
                        u'(t) =&
                            \alpha_2 - \delta_1 * u(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\
+
                        \alpha_2 - \delta_1 * u(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\
                            z'(t) =&
+
                        z'(t) =&
                            \alpha_2 - \delta_1 * z(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\
+
                        \alpha_2 - \delta_1 * z(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\
                            d'(t) =& \alpha_1+ \beta_2 * cd(t) - \delta_1 * d(t) - \beta_1 * c(t) * d(t) -
+
                        d'(t) =& \alpha_1+ \beta_2 * cd(t) - \delta_1 * d(t) - \beta_1 * c(t) * d(t) -
                            \tau * d(t) * p_2(t), \\
+
                        \tau * d(t) * p_2(t), \\
                            d_1'(t) =& -\delta_1 * d_1(t) + \tau * cd(t) * p_2(t) +
+
                        d_1'(t) =& -\delta_1 * d_1(t) + \tau * cd(t) * p_2(t) +
                            \tau * d(t) * p_2(t), \\
+
                        \tau * d(t) * p_2(t), \\
                            d_2'(t) =& -\delta_1 * d_2(t) + \tau * d(t) * p_2(t), \\
+
                        d_2'(t) =& -\delta_1 * d_2(t) + \tau * d(t) * p_2(t), \\
                            p_1'(t) =& \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) - \sigma_2 * p_1(t), \\
+
                        p_1'(t) =& \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) - \sigma_2 * p_1(t), \\
                            p_2'(t) =& \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) - \sigma_2 * p_2(t)
+
                        p_2'(t) =& \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) - \sigma_2 * p_2(t)
                            \end{align}
+
                        \end{align}
  
                            <h4>Converse implication $f_3$</h4>
+
                        <h4>Converse implication $f_3$</h4>
                            \begin{align}
+
                        \begin{align}
                            b'(t) =&
+
                        b'(t) =&
                            \alpha_1- \delta_1 * b(t) - \beta_1 * b(t) * k_1(t) + \beta_2 * k_1b(t), \\
+
                        \alpha_1- \delta_1 * b(t) - \beta_1 * b(t) * k_1(t) + \beta_2 * k_1b(t), \\
                            v'(t) =&
+
                        v'(t) =&
                            \alpha_2 - \delta_1 * v(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\
+
                        \alpha_2 - \delta_1 * v(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\
                            w'(t) =&
+
                        w'(t) =&
                            \alpha_2 - \delta_1 * w(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\
+
                        \alpha_2 - \delta_1 * w(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\
                            u'(t) =&
+
                        u'(t) =&
                            \alpha_2 - \delta_1 * u(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\
+
                        \alpha_2 - \delta_1 * u(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\
                            z'(t) =&
+
                        z'(t) =&
                            \alpha_2 - \delta_1 * z(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\
+
                        \alpha_2 - \delta_1 * z(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\
                            k'(t) =& \alpha_1- \delta_1 * k(t) - \tau * k(t) * p_1(t) - \tau * k(t) * p_2(t), \\
+
                        k'(t) =& \alpha_1- \delta_1 * k(t) - \tau * k(t) * p_1(t) - \tau * k(t) * p_2(t), \\
                            k_1'(t) =& -\delta_1 * k_1(t) - \beta_1 * b(t) * k_1(t) + \gamma_2 * k_{12}(t) + \\
+
                        k_1'(t) =& -\delta_1 * k_1(t) - \beta_1 * b(t) * k_1(t) + \gamma_2 * k_{12}(t) + \\
                            & \gamma_2 * k_{123}(t) + \beta_2 * k_1b(t) - \gamma_1 * k_1(t) * k_2(t) -
+
                        & \gamma_2 * k_{123}(t) + \beta_2 * k_1b(t) - \gamma_1 * k_1(t) * k_2(t) -
                            \gamma_1 * k_1(t) * k_{23}(t) \\
+
                        \gamma_1 * k_1(t) * k_{23}(t) \\
                            &+ \tau * k(t) * p_1(t) + \tau * k_1k_2(t) * p_1(t), \\
+
                        &+ \tau * k(t) * p_1(t) + \tau * k_1k_2(t) * p_1(t), \\
                            k_{12}'(t) =& -\delta_1 * k_{12}(t) - \gamma_2 * k_{12}(t) +
+
                        k_{12}'(t) =& -\delta_1 * k_{12}(t) - \gamma_2 * k_{12}(t) +
                            \gamma_1 * k_1(t) * k_2(t), \\
+
                        \gamma_1 * k_1(t) * k_2(t), \\
                            k_{123}'(t) =& -\gamma_2 * k_{123}(t) + \gamma_1 * k_1(t) * k_{23}(t), \\
+
                        k_{123}'(t) =& -\gamma_2 * k_{123}(t) + \gamma_1 * k_1(t) * k_{23}(t), \\
                            k_1b'(t) =&
+
                        k_1b'(t) =&
                            \beta_1 * b(t) * k_1(t) - \delta_1 * k_1b(t) - \beta_2 * k_1b(t), \\
+
                        \beta_1 * b(t) * k_1(t) - \delta_1 * k_1b(t) - \beta_2 * k_1b(t), \\
                            k_1k_2'(t) =& -\tau * k_1k_2(t) * p_1(t) + \tau * k(t) * p_2(t), \\
+
                        k_1k_2'(t) =& -\tau * k_1k_2(t) * p_1(t) + \tau * k(t) * p_2(t), \\
                            k_2'(t) =&
+
                        k_2'(t) =&
                            \gamma_2 * k_{12}(t) - \delta_1 * k_2(t) - \gamma_1 * k_1(t) * k_2(t) +
+
                        \gamma_2 * k_{12}(t) - \delta_1 * k_2(t) - \gamma_1 * k_1(t) * k_2(t) +
                            \tau * k_1k_2(t) * p_1(t) + \tau * k_{23}(t) * p_2(t), \\
+
                        \tau * k_1k_2(t) * p_1(t) + \tau * k_{23}(t) * p_2(t), \\
                            k_{23}'(t) =&
+
                        k_{23}'(t) =&
                            \gamma_2 * k_{123}(t) - \delta_1 * k_{23}(t) - \gamma_1 * k_1(t) * k_{23}(t) +
+
                        \gamma_2 * k_{123}(t) - \delta_1 * k_{23}(t) - \gamma_1 * k_1(t) * k_{23}(t) +
                            \tau * k(t) * p_1(t) - \tau * k_{23}(t) * p_2(t), \\
+
                        \tau * k(t) * p_1(t) - \tau * k_{23}(t) * p_2(t), \\
                            k_3'(t) =& -\delta_1 * k_3(t) + \tau * k(t) * p_2(t) +
+
                        k_3'(t) =& -\delta_1 * k_3(t) + \tau * k(t) * p_2(t) +
                            \tau * k_{23}(t) * p_2(t), \\
+
                        \tau * k_{23}(t) * p_2(t), \\
                            p_1'(t) =& \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) - \sigma_2 * p_1(t), \\
+
                        p_1'(t) =& \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) - \sigma_2 * p_1(t), \\
                            p_2'(t) =& \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) - \sigma_2 * p_2(t)
+
                        p_2'(t) =& \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) - \sigma_2 * p_2(t)
                            \end{align}
+
                        \end{align}
  
                            <h4>Mathematical nonimplication $f_4$</h4>
+
                        <h4>Mathematical nonimplication $f_4$</h4>
                            \begin{align}
+
                        \begin{align}
                            v'(t) =&
+
                        v'(t) =&
                            \alpha_2 - \delta_1 * v(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\
+
                        \alpha_2 - \delta_1 * v(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\
                            w'(t) =&
+
                        w'(t) =&
                            \alpha_2 - \delta_1 * w(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\
+
                        \alpha_2 - \delta_1 * w(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\
                            u'(t) =&
+
                        u'(t) =&
                            \alpha_2 - \delta_1 * u(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\
+
                        \alpha_2 - \delta_1 * u(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\
                            z'(t) =&
+
                        z'(t) =&
                            \alpha_2 - \delta_1 * z(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\
+
                        \alpha_2 - \delta_1 * z(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\
                            d'(t) =&
+
                        d'(t) =&
                            \alpha_1- \delta_1 * d(t) - \beta_1 * d(t) * g_1(t) + \beta_2 * g_1d(t) -
+
                        \alpha_1- \delta_1 * d(t) - \beta_1 * d(t) * g_1(t) + \beta_2 * g_1d(t) -
                            \tau * d(t) * p_2(t), \\
+
                        \tau * d(t) * p_2(t), \\
                            d_1'(t) =& -\delta_1 * d_1(t) - \gamma_1 * d_1(t) * g_1(t) +
+
                        d_1'(t) =& -\delta_1 * d_1(t) - \gamma_1 * d_1(t) * g_1(t) +
                            \gamma_2 * g_1d_1(t) + \tau * d(t) * p_2(t), \\
+
                        \gamma_2 * g_1d_1(t) + \tau * d(t) * p_2(t), \\
                            d_2'(t) =& -\delta_1 * d_2(t) + \tau * d(t) * p_2(t) +
+
                        d_2'(t) =& -\delta_1 * d_2(t) + \tau * d(t) * p_2(t) +
                            \tau * g_1d(t) * p_2(t), \\
+
                        \tau * g_1d(t) * p_2(t), \\
                            g'(t) =& \alpha_1- \delta_1 * g(t) - \tau * g(t) * p_1(t), \\
+
                        g'(t) =& \alpha_1- \delta_1 * g(t) - \tau * g(t) * p_1(t), \\
                            g_1'(t) =& -\delta_1 * g_1(t) - \beta_1 * d(t) * g_1(t) - \gamma_1 * d_1(t) * g_1(t) \\
+
                        g_1'(t) =& -\delta_1 * g_1(t) - \beta_1 * d(t) * g_1(t) - \gamma_1 * d_1(t) * g_1(t) \\
                            & + \beta_2 * g_1d(t) + \gamma_2 * g_1d_1(t) +
+
                        & + \beta_2 * g_1d(t) + \gamma_2 * g_1d_1(t) +
                            \gamma_2 * g_1g_2(t) - \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t), \\
+
                        \gamma_2 * g_1g_2(t) - \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t), \\
                            g_1d'(t) =&
+
                        g_1d'(t) =&
                            \beta_1 * d(t) * g_1(t) - \delta_1 * g_1d(t) - \beta_2 * g_1d(t) -
+
                        \beta_1 * d(t) * g_1(t) - \delta_1 * g_1d(t) - \beta_2 * g_1d(t) -
                            \tau * g_1d(t) * p_2(t), \\
+
                        \tau * g_1d(t) * p_2(t), \\
                            g_1d_1'(t) =&
+
                        g_1d_1'(t) =&
                            \gamma_1 * d_1(t) * g_1(t) - \gamma_2 * g_1d_1(t) + \tau * g_1d(t) * p_2(t), \\
+
                        \gamma_1 * d_1(t) * g_1(t) - \gamma_2 * g_1d_1(t) + \tau * g_1d(t) * p_2(t), \\
                            g_1g_2'(t) =& -\gamma_2 * g_1g_2(t) + \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t) +
+
                        g_1g_2'(t) =& -\gamma_2 * g_1g_2(t) + \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t) +
                            \tau * g(t) * p_1(t), \\
+
                        \tau * g(t) * p_1(t), \\
                            g_2'(t) =&
+
                        g_2'(t) =&
                            \gamma_2 * g_1g_2(t) - \delta_1 * g_2(t) - \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t), \\
+
                        \gamma_2 * g_1g_2(t) - \delta_1 * g_2(t) - \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t), \\
                            p_1'(t) =& \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) - \sigma_2 * p_1(t), \\
+
                        p_1'(t) =& \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) - \sigma_2 * p_1(t), \\
                            p_2'(t) =& \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) - \sigma_2 * p_2(t)
+
                        p_2'(t) =& \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) - \sigma_2 * p_2(t)
                            \end{align}
+
                        \end{align}
  
                            <p>
+
                        <p>
                                The function of light presence, denoted with $l(t)$, $l_1(t)$ or $l_2(t)$, is a
+
                            The function of light presence, denoted with $l(t)$, $l_1(t)$ or $l_2(t)$, is a
                                piecewise
+
                            piecewise
                                function which equals 1 if the light is present and 0 otherwise. Functions $p_1$, $p_2$,
+
                            function which equals 1 if the light is present and 0 otherwise. Functions $p_1$, $p_2$,
                                $g$,
+
                            $g$,
                                $g_1$,
+
                            $g_1$,
                                $g_1d$, $g_1d_1$, $g_1g_2$, $g_1i$, $g_2$, $c$, $c_1$, $c_2$, $c_2d$, $cd$, $cd_2$, $w$,
+
                            $g_1d$, $g_1d_1$, $g_1g_2$, $g_1i$, $g_2$, $c$, $c_1$, $c_2$, $c_2d$, $cd$, $cd_2$, $w$,
                                $z$,
+
                            $z$,
                                $d$, $d_1$, $d_2$, $k$, $k_1$, $k_{12}$,
+
                            $d$, $d_1$, $d_2$, $k$, $k_1$, $k_{12}$,
                                $k_{123}$, $k_1b$, $k_1k_2$, $k_2$, $k_{23}$, $k_3$, $i$, $b$, $k$, $v$, $u$, $w$, $z$
+
                            $k_{123}$, $k_1b$, $k_1k_2$, $k_2$, $k_{23}$, $k_3$, $i$, $b$, $k$, $v$, $u$, $w$, $z$
                                present
+
                            present
                                concentrations of the
+
                            concentrations of the
                                equally labelled proteins. The constants used for the model are described in
+
                            equally labelled proteins. The constants used for the model are described in
                                <ref>tab:refs</ref>
+
                            <ref>tab:refs</ref>
                                .
+
                            .
                            </p>
+
                        </p>
                            <table class="ui collapsing unstackable celled table" data-ref="tab:refs">
+
                        <table class="ui collapsing unstackable celled table" data-ref="tab:refs">
                                <thead class="full-width">
+
                            <thead class="full-width">
                                <tr class="center aligned">
+
                            <tr class="center aligned">
                                    <th> Description</th>
+
                                <th> Description</th>
                                    <th> Name</th>
+
                                <th> Name</th>
                                    <th> Rate</th>
+
                                <th> Rate</th>
                                    <th> Reference</th>
+
                                <th> Reference</th>
                                </tr>
+
                            </tr>
                                </thead>
+
                            </thead>
                                <tbody>
+
                            <tbody>
                                <tr>
+
                            <tr>
                                    <td>protein production rate</td>
+
                                <td>protein production rate</td>
                                    <td>$\alpha$</td>
+
                                <td>$\alpha$</td>
                                    <td>3.5 * 20$^{-2}$ nMs$^{-1}$</td>
+
                                <td>3.5 * 20$^{-2}$ nMs$^{-1}$</td>
                                    <td>
+
                                <td>
                                        <x-ref>Mariani:2010, Alon:2006</x-ref>
+
                                    <x-ref>Mariani:2010, Alon:2006</x-ref>
                                    </td>
+
                                </td>
                                </tr>
+
                            </tr>
                                <tr>
+
                            <tr>
                                    <td>light inducible split protease production rate</td>
+
                                <td>light inducible split protease production rate</td>
                                    <td>$\alpha_2$</td>
+
                                <td>$\alpha_2$</td>
                                    <td>7 * 10$^{-1}$ nMs$^{-1}$</td>
+
                                <td>7 * 10$^{-1}$ nMs$^{-1}$</td>
                                    <td>protein:protease DNA ratio is
+
                                <td>protein:protease DNA ratio is
                                        1:20
+
                                    1:20
                                    </td>
+
                                </td>
                                </tr>
+
                            </tr>
                                <tr>
+
                            <tr>
                                    <td>protein degradation rate</td>
+
                                <td>protein degradation rate</td>
                                    <td>$\delta_1$</td>
+
                                <td>$\delta_1$</td>
                                    <td>Log[2] / (3600 * 9) $s^{-1}$</td>
+
                                <td>Log[2] / (3600 * 9) $s^{-1}$</td>
                                    <td>
+
                                <td>
                                        <x-ref>Eden:2011</x-ref>
+
                                    <x-ref>Eden:2011</x-ref>
                                    </td>
+
                                </td>
                                </tr>
+
                            </tr>
                                <tr>
+
                            <tr>
                                    <td>light inducible split protease dissociation rate</td>
+
                                <td>light inducible split protease dissociation rate</td>
                                    <td> $\sigma_2$</td>
+
                                <td> $\sigma_2$</td>
                                    <td>Log[2] / (60 * 5.5) s$^{-1}$</td>
+
                                <td>Log[2] / (60 * 5.5) s$^{-1}$</td>
                                    <td>
+
                                <td>
                                        <x-ref>Taslimi:2016</x-ref>
+
                                    <x-ref>Taslimi:2016</x-ref>
                                    </td>
+
                                </td>
                                </tr>
+
                            </tr>
                                <tr>
+
                            <tr>
                                    <td>light inducible split protease association rate</td>
+
                                <td>light inducible split protease association rate</td>
                                    <td> $\sigma_1$</td>
+
                                <td> $\sigma_1$</td>
                                    <td>1 nM$^{-1}$ s$^{-1}$</td>
+
                                <td>1 nM$^{-1}$ s$^{-1}$</td>
                                    <td>
+
                                <td>
                                        <x-ref>Alon:2006</x-ref>
+
                                    <x-ref>Alon:2006</x-ref>
                                    </td>
+
                                </td>
                                </tr>
+
                            </tr>
                                <tr>
+
                            <tr>
                                    <td>protease cleavage rate</td>
+
                                <td>protease cleavage rate</td>
                                    <td> $\tau$</td>
+
                                <td> $\tau$</td>
                                    <td>1.2 * 10$^-6$ nM$^-1$ s$^{-1}$</td>
+
                                <td>1.2 * 10$^-6$ nM$^-1$ s$^{-1}$</td>
                                    <td>
+
                                <td>
                                        <x-ref>Yi:2013</x-ref>
+
                                    <x-ref>Yi:2013</x-ref>
                                    </td>
+
                                </td>
                                </tr>
+
                            </tr>
                                <tr>
+
                            <tr>
                                    <td>stronger coiled coils association rate</td>
+
                                <td>stronger coiled coils association rate</td>
                                    <td> $\beta_1$</td>
+
                                <td> $\beta_1$</td>
                                    <td>3.17 * 10$^{-3}$ nM$^{-1}$ s$^{-1}$</td>
+
                                <td>3.17 * 10$^{-3}$ nM$^{-1}$ s$^{-1}$</td>
                                    <td>
+
                                <td>
                                        <x-ref>DeCrescenzo:2003</x-ref>
+
                                    <x-ref>DeCrescenzo:2003</x-ref>
                                    </td>
+
                                </td>
                                </tr>
+
                            </tr>
                                <tr>
+
                            <tr>
                                    <td>stronger coiled coils dissociation rate</td>
+
                                <td>stronger coiled coils dissociation rate</td>
                                    <td> $\beta_2$</td>
+
                                <td> $\beta_2$</td>
                                    <td>2 * 10$^{-4}$ s$^{-1}$</td>
+
                                <td>2 * 10$^{-4}$ s$^{-1}$</td>
                                    <td>
+
                                <td>
                                        <x-ref>DeCrescenzo:2003</x-ref>
+
                                    <x-ref>DeCrescenzo:2003</x-ref>
                                    </td>
+
                                </td>
                                </tr>
+
                            </tr>
                                <tr>
+
                            <tr>
                                    <td>weaker coiled coils association rate</td>
+
                                <td>weaker coiled coils association rate</td>
                                    <td> $\gamma_1$</td>
+
                                <td> $\gamma_1$</td>
                                    <td>7.3 * 10$^{-6}$ nM$^{-1}$ s$^{-1}$</td>
+
                                <td>7.3 * 10$^{-6}$ nM$^{-1}$ s$^{-1}$</td>
                                    <td>
+
                                <td>
                                        <x-ref>DeCrescenzo:2003</x-ref>
+
                                    <x-ref>DeCrescenzo:2003</x-ref>
                                    </td>
+
                                </td>
                                </tr>
+
                            </tr>
                                <tr>
+
                            <tr>
                                    <td>weaker coiled coils dissociation rate</td>
+
                                <td>weaker coiled coils dissociation rate</td>
                                    <td> $\gamma_2$</td>
+
                                <td> $\gamma_2$</td>
                                    <td>1.67 * 10$^{-1}$ s$^{-1}$</td>
+
                                <td>1.67 * 10$^{-1}$ s$^{-1}$</td>
                                    <td>
+
                                <td>
                                        <x-ref>DeCrescenzo:2003</x-ref>
+
                                    <x-ref>DeCrescenzo:2003</x-ref>
                                    </td>
+
                                </td>
                                </tr>
+
                            </tr>
                                <tr>
+
                            <tr>
                                    <td>time of light exposure</td>
+
                                <td>time of light exposure</td>
                                    <td> /</td>
+
                                <td> /</td>
                                    <td>60 s</td>
+
                                <td>60 s</td>
                                    <td>
+
                                <td>
                                        estimated from experimental results
+
                                    estimated from experimental results
                                    </td>
+
                                </td>
                                </tr>
+
                            </tr>
                                </tbody>
+
                            </tbody>
                            </table>
+
                        </table>
                        </div>
+
 
                     </div>
 
                     </div>
 
                     <div>
 
                     <div>

Revision as of 00:30, 19 October 2016

Model Logic

  Modeling logic gates

  • Design of several logic gates were modeled.
  • Fast response of the proposed design was proved via simulation.

 

Engineering and designing biological circuits constitute a central core of synthetic biology. In the context of our iGEM project, one of the challenges was to create, tune and regulate novel pathways in living cells using a fast-relay system. The toolset of orthogonal proteases that we developed worked as input for logic function in mammalian cells. Therefore, here we propose schemes for implementation of all 16 two input binary logic functions based on a protein-protein interaction (coiled coil) and proteolysis system in cells. Designed logic gates based on protein-protein interaction are expected to have a shorter time delay compared to their analogues based on transcription activation Gaber:2014, Kiani:2014 .

The main post-translational modification on which signaling and information processing systems are based is protein phosphorylation, which enables reversibility and fast response. Proteolysis is on the other hand irreversible, which imposes some limitations with respect to phosphorylation. However for many applications fast activation is most important, while the time to reset the system in the resting state is of secondary importance.

Our protein-based system is designed in such a way that it works through coiled coil interactions, where each coiled coil in the system is either free or bound to its partner depending on the proteolytic activity. Furthermore, the signal output is represented by reconstitution of a split protein (i.e. luciferase or protease), which is fused separately to different coiled coil segments. To prove the feasibility of this design, we simulated the system's behavior using deterministic modeling. The simulations were run in Wolfram Mathematica, using xCellerator's xlr8r libraries.

The designed binary logic gates can be divided into 5 subgroups, based on the position of the protease cleavage sites:

  • a) cleavage site between coiled-coils: conjunction, disjunction and both projection functions;
  • b) cleavage site between the coiled-coil and split protease: logical NAND, logical NOR and both negations;
  • c) cleavage sites between coiled-coils as well as between the coiled-coil and split protease in the same construct: material implication and converse implication;
  • d) cleavage sites between coiled-coils as well as between the coiled-coil and split protease in different constructs: exclusive disjunction, logical biconditional, material nonimplication and converse nonimplication;
  • e) no cleavage sites: tautology and contradiction.

For applications that require fast response (e.g. protein secretion), which are the purpose of our attempt, only falsity preserving gates are appropriate, as biological systems usually require fast activation and not fast deactivation. The following functions correspond to the desired condition: both projection functions, conjunction, disjunction, exclusive disjunction, material nonimplication, converse nonimplication and true.

Since the dynamics of both functions in subgroup e) is trivial, i.e. output is a constant, their modeling is omitted. We selected a single function from the other four subgroups, for which a mathematical model was established and analyzed. We selected the following functions $f_1(x_1, x_2) = x_1$ from subgroup a), $f_2(x_1, x_2) = \neg(x_1 \vee x_2)$ from b), $f_3(x_1, x_2) = x_2 \Rightarrow x_1$ from c) and $f_4(x_1, x_2) = \neg(x_1 \Rightarrow x_2)$ from d).

Inducible proteases were assumed as the two input variables for each function. The logical values true and false were in all the cases presented with high and low amounts of output proteins or input proteases, respectively. Where the output signal is presented with several different proteins, the sum of their concentrations was observed. The schemes of the assumed reactions included in the implementation of described logical functions are represented in fig:scheme_buffer , fig:scheme_nor , fig:schemes_imply and fig:schemes_nimply . All of them ignore the leakage due to the binding of the coiled-coils before cleavage, which could be solved by setting the building elements with appropriate parameters as demonstrated in the experimental section on the CC-based logic design.

Scheme of the modeled function $f_1$. The output is represented with the emission of light induced by reconstitution of the split firefly luciferase reporter.
Scheme of the modeled function $f_2$. The output is represented with the emission of light induced by reconstitution of the split firefly luciferase reporter.
Scheme of the modeled function $f_3$. The output is represented with the emission of light induced by reconstitution of the split firefly luciferase reporter.
Scheme of the modeled function $f_4$. The output is represented with the emission of light induced by reconstitution of the split firefly luciferase reporter.

  Deterministic modeling

We have established the following ordinary differential equations (ODEs) based model:

Projection function $f_1$

\begin{align} v'(t) =& \alpha_2 - \delta_1 * v(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\ u'(t) =& \alpha_2 - \delta_1 * u(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l(t) + \sigma_2 * p_1'(t), \\ g'(t) =& \alpha_1- \delta_1 * g(t) - \tau * g(t) * p_1(t), \\ g_1'(t) =& -\delta_1 * g_1(t) + \gamma_2 * g_1g_2(t) + \beta_2 * g_1i(t) - \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t) - \beta_1 * g_1(t) * i(t), \\ g_1g_2'(t) =& -\gamma_2 * g_1g_2(t) + \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t) + \tau * g(t) * p_1(t), \\ g_1i'(t) =& -\delta_1 * g_1i(t) - \beta_2 * g_1i(t) + \beta_1 * g_1(t) * i(t), \\ g_2'(t) =& \gamma_2 * g_1g_2(t) - \delta_1 * g_2(t) - \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t), \\ i'(t) =& \alpha_1+ \beta_2 * g_1i(t) - \delta_1 * i(t) - \beta_1 * g_1(t) * i(t),\\ p_1'(t) =& \sigma_1 * v(t) * u(t) * l(t) - \sigma_2 * p_1(t) \end{align}

Logical NOR $f_2$

\begin{align} c'(t) =& \alpha_1- \delta_1 * c(t) + \beta_2 * cd(t) - \beta_1 * c(t) * d(t) - \tau * c(t) * p_1(t), \\ c_1'(t) =& -\delta_1 * c_1(t) + \tau * c(t) * p_1(t) + \tau * cd(t) * p_1(t), \\ c_2'(t) =& -\delta_1 * c_2(t) + \tau * c(t) * p_1(t), \\ c_2d'(t) =& \tau * cd(t) * p_1(t), \\ cd'(t) =& -\delta_1 * cd(t) - \beta_2 * cd(t) + \beta_1 * c(t) * d(t) - \tau * cd(t) * p_1(t) - \tau * cd(t) * p_2(t), \\ cd_2'(t) =& \tau * cd(t) * p_2(t), \\ v'(t) =& \alpha_2 - \delta_1 * v(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\ w'(t) =& \alpha_2 - \delta_1 * w(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t)+ \sigma_2 * p_2(t), \\ u'(t) =& \alpha_2 - \delta_1 * u(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\ z'(t) =& \alpha_2 - \delta_1 * z(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\ d'(t) =& \alpha_1+ \beta_2 * cd(t) - \delta_1 * d(t) - \beta_1 * c(t) * d(t) - \tau * d(t) * p_2(t), \\ d_1'(t) =& -\delta_1 * d_1(t) + \tau * cd(t) * p_2(t) + \tau * d(t) * p_2(t), \\ d_2'(t) =& -\delta_1 * d_2(t) + \tau * d(t) * p_2(t), \\ p_1'(t) =& \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) - \sigma_2 * p_1(t), \\ p_2'(t) =& \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) - \sigma_2 * p_2(t) \end{align}

Converse implication $f_3$

\begin{align} b'(t) =& \alpha_1- \delta_1 * b(t) - \beta_1 * b(t) * k_1(t) + \beta_2 * k_1b(t), \\ v'(t) =& \alpha_2 - \delta_1 * v(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\ w'(t) =& \alpha_2 - \delta_1 * w(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\ u'(t) =& \alpha_2 - \delta_1 * u(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\ z'(t) =& \alpha_2 - \delta_1 * z(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\ k'(t) =& \alpha_1- \delta_1 * k(t) - \tau * k(t) * p_1(t) - \tau * k(t) * p_2(t), \\ k_1'(t) =& -\delta_1 * k_1(t) - \beta_1 * b(t) * k_1(t) + \gamma_2 * k_{12}(t) + \\ & \gamma_2 * k_{123}(t) + \beta_2 * k_1b(t) - \gamma_1 * k_1(t) * k_2(t) - \gamma_1 * k_1(t) * k_{23}(t) \\ &+ \tau * k(t) * p_1(t) + \tau * k_1k_2(t) * p_1(t), \\ k_{12}'(t) =& -\delta_1 * k_{12}(t) - \gamma_2 * k_{12}(t) + \gamma_1 * k_1(t) * k_2(t), \\ k_{123}'(t) =& -\gamma_2 * k_{123}(t) + \gamma_1 * k_1(t) * k_{23}(t), \\ k_1b'(t) =& \beta_1 * b(t) * k_1(t) - \delta_1 * k_1b(t) - \beta_2 * k_1b(t), \\ k_1k_2'(t) =& -\tau * k_1k_2(t) * p_1(t) + \tau * k(t) * p_2(t), \\ k_2'(t) =& \gamma_2 * k_{12}(t) - \delta_1 * k_2(t) - \gamma_1 * k_1(t) * k_2(t) + \tau * k_1k_2(t) * p_1(t) + \tau * k_{23}(t) * p_2(t), \\ k_{23}'(t) =& \gamma_2 * k_{123}(t) - \delta_1 * k_{23}(t) - \gamma_1 * k_1(t) * k_{23}(t) + \tau * k(t) * p_1(t) - \tau * k_{23}(t) * p_2(t), \\ k_3'(t) =& -\delta_1 * k_3(t) + \tau * k(t) * p_2(t) + \tau * k_{23}(t) * p_2(t), \\ p_1'(t) =& \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) - \sigma_2 * p_1(t), \\ p_2'(t) =& \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) - \sigma_2 * p_2(t) \end{align}

Mathematical nonimplication $f_4$

\begin{align} v'(t) =& \alpha_2 - \delta_1 * v(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\ w'(t) =& \alpha_2 - \delta_1 * w(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\ u'(t) =& \alpha_2 - \delta_1 * u(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\ z'(t) =& \alpha_2 - \delta_1 * z(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\ d'(t) =& \alpha_1- \delta_1 * d(t) - \beta_1 * d(t) * g_1(t) + \beta_2 * g_1d(t) - \tau * d(t) * p_2(t), \\ d_1'(t) =& -\delta_1 * d_1(t) - \gamma_1 * d_1(t) * g_1(t) + \gamma_2 * g_1d_1(t) + \tau * d(t) * p_2(t), \\ d_2'(t) =& -\delta_1 * d_2(t) + \tau * d(t) * p_2(t) + \tau * g_1d(t) * p_2(t), \\ g'(t) =& \alpha_1- \delta_1 * g(t) - \tau * g(t) * p_1(t), \\ g_1'(t) =& -\delta_1 * g_1(t) - \beta_1 * d(t) * g_1(t) - \gamma_1 * d_1(t) * g_1(t) \\ & + \beta_2 * g_1d(t) + \gamma_2 * g_1d_1(t) + \gamma_2 * g_1g_2(t) - \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t), \\ g_1d'(t) =& \beta_1 * d(t) * g_1(t) - \delta_1 * g_1d(t) - \beta_2 * g_1d(t) - \tau * g_1d(t) * p_2(t), \\ g_1d_1'(t) =& \gamma_1 * d_1(t) * g_1(t) - \gamma_2 * g_1d_1(t) + \tau * g_1d(t) * p_2(t), \\ g_1g_2'(t) =& -\gamma_2 * g_1g_2(t) + \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t) + \tau * g(t) * p_1(t), \\ g_2'(t) =& \gamma_2 * g_1g_2(t) - \delta_1 * g_2(t) - \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t), \\ p_1'(t) =& \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) - \sigma_2 * p_1(t), \\ p_2'(t) =& \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) - \sigma_2 * p_2(t) \end{align}

The function of light presence, denoted with $l(t)$, $l_1(t)$ or $l_2(t)$, is a piecewise function which equals 1 if the light is present and 0 otherwise. Functions $p_1$, $p_2$, $g$, $g_1$, $g_1d$, $g_1d_1$, $g_1g_2$, $g_1i$, $g_2$, $c$, $c_1$, $c_2$, $c_2d$, $cd$, $cd_2$, $w$, $z$, $d$, $d_1$, $d_2$, $k$, $k_1$, $k_{12}$, $k_{123}$, $k_1b$, $k_1k_2$, $k_2$, $k_{23}$, $k_3$, $i$, $b$, $k$, $v$, $u$, $w$, $z$ present concentrations of the equally labelled proteins. The constants used for the model are described in tab:refs .

Description Name Rate Reference
protein production rate $\alpha$ 3.5 * 20$^{-2}$ nMs$^{-1}$ Mariani:2010, Alon:2006
light inducible split protease production rate $\alpha_2$ 7 * 10$^{-1}$ nMs$^{-1}$ protein:protease DNA ratio is 1:20
protein degradation rate $\delta_1$ Log[2] / (3600 * 9) $s^{-1}$ Eden:2011
light inducible split protease dissociation rate $\sigma_2$ Log[2] / (60 * 5.5) s$^{-1}$ Taslimi:2016
light inducible split protease association rate $\sigma_1$ 1 nM$^{-1}$ s$^{-1}$ Alon:2006
protease cleavage rate $\tau$ 1.2 * 10$^-6$ nM$^-1$ s$^{-1}$ Yi:2013
stronger coiled coils association rate $\beta_1$ 3.17 * 10$^{-3}$ nM$^{-1}$ s$^{-1}$ DeCrescenzo:2003
stronger coiled coils dissociation rate $\beta_2$ 2 * 10$^{-4}$ s$^{-1}$ DeCrescenzo:2003
weaker coiled coils association rate $\gamma_1$ 7.3 * 10$^{-6}$ nM$^{-1}$ s$^{-1}$ DeCrescenzo:2003
weaker coiled coils dissociation rate $\gamma_2$ 1.67 * 10$^{-1}$ s$^{-1}$ DeCrescenzo:2003
time of light exposure / 60 s estimated from experimental results

  Results

We simulated the dynamics of established logic gates with the numerical integration of their mathematical models described in the previous paragraphs. The results of our simulations are shown in fig:buffer , fig:nor , fig:imply and fig:nimply . They confirm our assumption that all four types of logic functions offer shorter delay compared to their equivalents based on genetic regulatory networks. The rise and fall times of our gates are simulated to be at around 70 seconds compared to hours that transcription regulation circuits usually require.

$x_1$. The output concentration of the logical function $x_1$ is shown with both possible inputs in the following order 0, 1.
$x_1$ NOR $x_2$. The output concentration of the logical function $x_1$ NOR $x_2$ is shown with all four possible inputs in the following order (0,0), (0,1), (1,0), (1,1).
$x_2$ imply $x_1$. The output concentration of the logical function $x_2$ imply $x_1$ is shown with all four possible inputs in the following order (0,0), (0,1), (1,0), (1,1).
$x_1$ nimply $x_2$. The output concentration of the logical function $x_1$ nimply $x_2$ is shown with all four possible inputs in the following order (0,0), (0,1), (1,0), (1,1).

Our system also allows us to shorten the lifetime of the output signal without significantly reducing its concentrations by adding degradation tags to the output protein. The high output times achieved can even be similar to the input light induction time of 1 minute. These two characteristics can importantly influence several sequential induction of logic gates and the further development of several layered logic circuits.

Shortened output time due to the addition of degradation tags to the output protein.

 References