Difference between revisions of "Team:Slovenia/ModelLogic"

 
(70 intermediate revisions by 6 users not shown)
Line 19: Line 19:
 
         MathJax.Hub.Config({
 
         MathJax.Hub.Config({
 
             tex2jax: {
 
             tex2jax: {
−
                 inlineMath: [['$', '$'], ['\\(', '\\)']]
+
                 inlineMath: [['$', '$'], ['\\(', '\\)']],
 +
                processEscapes: true
 +
            },
 +
            TeX: {
 +
                extensions: ["mhchem.js"],
 +
                equationNumbers: {autoNumber: "all" }
 
             }
 
             }
−
         });
+
         })
  
 
     </script>
 
     </script>
Line 37: Line 42:
 
                 </a>
 
                 </a>
 
                 <div class="ui vertical sticky text menu">
 
                 <div class="ui vertical sticky text menu">
 +
                    <a class="item" href="//2016.igem.org/Team:Slovenia/Software">
 +
                        <i class="chevron circle left icon"></i>
 +
                        <b>CaPTURE</b>
 +
                    </a>
 +
                    <a class="item" href="" style="color:#DB2828;">
 +
                        <i class="selected radio icon"></i>
 +
                        <b>Modeling logic gates</b></a>
 +
                    <a class="item" href="#achieve" style="margin-left: 10%">
 +
                        <i class="selected radio icon"></i>
 +
                        <b>Achievements</b>
 +
                    </a>
 
                     <a class="item" href="#intro" style="margin-left: 10%">
 
                     <a class="item" href="#intro" style="margin-left: 10%">
 
                         <i class="selected radio icon"></i>
 
                         <i class="selected radio icon"></i>
−
                         <b>Project</b>
+
                         <b>Introduction</b>
 
                     </a>
 
                     </a>
−
                     <a class="item" href="#achievements" style="margin-left: 10%">
+
                     <a class="item" href="#model" style="margin-left: 10%">
 
                         <i class="selected radio icon"></i>
 
                         <i class="selected radio icon"></i>
−
                         <b>Achievements</b>
+
                         <b>Deterministic modeling</b>
 
                     </a>
 
                     </a>
−
                     <a class="item" href="#requirements" style="margin-left: 10%">
+
                     <a class="item" href="#results" style="margin-left: 10%">
 
                         <i class="selected radio icon"></i>
 
                         <i class="selected radio icon"></i>
−
                         <b>Medal requirements</b>
+
                         <b>Results</b>
 
                     </a>
 
                     </a>
−
                     <a class="item" href="idea">
+
                     <a class="item" href="//2016.igem.org/Team:Slovenia/CoiledCoilInteraction">
 
                         <i class="chevron circle right icon"></i>
 
                         <i class="chevron circle right icon"></i>
−
                         <b>Idea</b>
+
                         <b>Coiled Coil interaction model</b>
 
                     </a>
 
                     </a>
 
                 </div>
 
                 </div>
Line 59: Line 75:
 
                 <!-- content goes here -->
 
                 <!-- content goes here -->
 
                 <div class="main ui citing justified container">
 
                 <div class="main ui citing justified container">
−
                     <h3><span id="intro" class="section"> &nbsp; </span>Introduction</h3>
+
                     <div>
−
                    <p>
+
                        <h1><span id="achieve" class="section colorize"> &nbsp; </span>Modeling logic gates</h1>
−
                        Engineering and designing biological circuits constitute a central core of synthetic biology. In
+
                        <div class="ui segment" style="background-color: #ebc7c7; ">
−
                        the context of our
+
                            <p><b>
−
                        iGEM
+
                                <ul>
−
                        project, one the purpose was to create, tune and regulate novel pathways in living cells using a
+
<li> Fourteen coiled-coil-based logic operations were designed and modeled in order to function <i>in vivo</i>.
−
                        fast-relay system.
+
                                    <li> Fast response was obtained upon reconstitution of light inducible proteases used as input.
−
                        The
+
                                </ul>
−
                        <a href="https://2016.igem.org/Team:Slovenia/Protease_signaling/Orthogonality">toolset of
+
                            </b></p>
−
                            orthogonal proteases</a>
+
                        </div>
−
                        that we developed worked as input for <a
+
</div>
−
                            href="https://2016.igem.org/Team:Slovenia/Protease_signaling/Logic">logic
+
                        <div class="ui segment">
−
                        function in mammalian cells</a>. Therefore, here we propose schemes for implementation of all 16
+
<h4><span id="intro" class="section colorize"> &nbsp; </span></h4>
−
                        two input
+
                            <p>
−
                        binary logic functions based on a protein-protein interaction (coiled coil) and proteolysis
+
                                Engineering and designing biological circuits constitute a central core of synthetic
−
                        system in cells. Designed logic gates based on
+
                                biology. In
−
                        protein-protein interaction are
+
                                the context of our
−
                        expected to have a shorter time delay compared to their analogues based on genetic regulatory
+
                                iGEM
−
                        networks
+
                                project, one of the challenges was to create, tune and regulate novel pathways in living
−
                        <x-ref>Gaber:2014, Kiani:2014</x-ref>
+
                                cells
−
                        .
+
                                using a
−
                    </p>
+
                                fast-relay system.
−
 
+
                                The
−
                    <p>The main post-translational modification on which signaling and information processing systems
+
                                <a href="https://2016.igem.org/Team:Slovenia/Protease_signaling/Orthogonality">toolset of
−
                        are based is
+
                                    orthogonal proteases</a>
−
                        protein
+
                                that we developed worked as input for <a
−
                        phosphorylation, which enables reversibility and fast response. Proteolysis is on the other hand
+
                                    href="https://2016.igem.org/Team:Slovenia/Protease_signaling/Logic">logic
−
                        irreversible,
+
                                function in mammalian cells</a>. Therefore, here we propose schemes for implementation
−
                        which
+
                                of
−
                        imposes some limitations with respect to phosphorylation. However for many applications fast
+
                                all 14 non-trivial
−
                        activation is most
+
                                two input
−
                        important, while the time to reset the system in the resting state is not that important.</p>
+
                                binary logic functions based on a protein-protein interaction (coiled coil) and
−
 
+
                                proteolysis
−
                    <p>Our protein-based system is designed in such a way that it works through coiled coil
+
                                system in cells (<ref>fig:logicfunctions</ref>). Designed logic gates based on
−
                        interactions, where each
+
                                protein-protein interaction are
−
                        coiled
+
                                expected to have a shorter time delay compared to their analogues based on transcription
−
                        coil in the system is either free or bound to its partner depending on the proteolytic activity.
+
                                activation
−
                        Furthermore,
+
                                <x-ref>Gaber:2014, Kiani:2014</x-ref>
−
                        the
+
                                .
−
                        signal
+
                            </p>
−
                        output is represented by reconstitution of a split protein (i.e. luciferase or protease), which
+
                            <div style="float:left; width:100%">
−
                        is fused
+
                                <figure data-ref="fig:logicfunctions">
−
                        separately
+
                                    <img
−
                        to
+
                                            src="https://static.igem.org/mediawiki/2016/d/d2/T--Slovenia--logic-functions.png">
−
                        different coiled coil segments. To prove the feasibility of this design, we simulated the
+
                                    <figcaption><b>Scheme of all non-trivial two input logic functions.</b>
−
                        system's behavior
+
<p style="text-align:justify">Implementation of all 14 two input non-trivial logic operations
−
                        using
+
based on the proteolysis and coiled coil displacement. Note that in addition to the previously publishes coiled coil-based protease  
−
                        deterministic modelling. The simulations were run in Wolfram Mathematica, using xCellerator's
+
sensor  <x-ref>Shekhawat2009</x-ref> we introduce an additional site for the proteolytic cleavage which enables implementation of
−
                        xlr8r
+
all logic functions in a single layer.</p>
−
                        libraries.</p>
+
                                    </figcaption>
−
 
+
                                </figure>
−
                    <p>The designed binary logic gates can be divided into 5 subgroups, based on the position of the
+
                            </div>
−
                        protease cleavage
+
−
                        sites:
+
−
                    <ul>
+
−
                        <li>a) cleavage site between coiled-coils: conjunction, disjunction and both projection
+
−
                            functions;
+
−
                        </li>
+
−
                        <li>b) cleavage site between the coiled-coil and split protease: logical NAND, logical NOR and
+
−
                            both
+
−
                            negations;
+
−
                        </li>
+
−
                        <li>c) cleavage sites between coiled-coils as well as between the coiled-coil and split protease
+
−
                            in
+
−
                            the same construct: material implication and converse implication;
+
−
                        </li>
+
−
                        <li>
+
−
                            d) cleavage sites between coiled-coils as well as between the coiled-coil and split protease
+
−
                            in
+
−
                            different constructs: exclusive disjunction, logical biconditional, material nonimplication
+
−
                            and
+
−
                            converse
+
−
                            nonimplication;
+
−
                        </li>
+
−
                        <li>e) no cleavage sites: tautology and contradiction.</li>
+
−
                    </ul>
+
−
                    </p>
+
  
−
                    <p>
+
                            <p>The main post-translational modification on which signaling and information processing
−
                        For applications that require fast response (e.g. protein secretion), which are the purpose of
+
                                systems
−
                        our attempt, only
+
                                are based is
−
                        falsity
+
                                protein
−
                        preserving gates are appropriate, as biological systems usually require fast activation and not
+
                                phosphorylation, which enables reversibility and fast response. Proteolysis is on the
−
                        fast
+
                                other
−
                        deactivation.
+
                                hand
−
                        The
+
                                irreversible,
−
                        following functions correspond to the desired condition: both projection functions, conjunction,
+
                                which
−
                        disjunction,
+
                                imposes some limitations with respect to phosphorylation. However for many applications
−
                        exclusive
+
                                fast
−
                        disjunction, material nonimplication, converse nonimplication and true.
+
                                activation is most
−
                    </p>
+
                                important, while the time to reset the system in the resting state is of secondary
−
                    <p>
+
                                 importance.</p>
−
                        Since the dynamics of both functions in subgroup e) is trivial, i.e. output is a constant, their
+
−
                        modelling is
+
−
                        omitted.
+
−
                        We selected a single function from the other four subgroups, for which a mathematical model was
+
−
                        established and
+
−
                        analysed. We selected the following functions $f_1(x_1, x_2) = x_1$ from subgroup a), $f_2(x_1,
+
−
                        x_2) = \neg(x_1
+
−
                        \vee
+
−
                        x_2)$ from b), $f_3(x_1, x_2) = x_2 \Rightarrow x_1$ from c) and $f_4(x_1, x_2) = \neg(x_1
+
−
                        \Rightarrow x_2)$
+
−
                        from
+
−
                        d).
+
−
                    </p>
+
−
                    <p>
+
−
                        Inducible proteases were assumed as the two input variables for each function. The logical
+
−
                        values true and false
+
−
                        were in
+
−
                        all the cases presented with high and low amounts of output proteins or input proteases,
+
−
                        respectively. Where the
+
−
                        output
+
−
                        signal is presented with several different proteins, the sum of their concentrations was
+
−
                        observed. The schemes
+
−
                        of
+
−
                        the
+
−
                        assumed reactions included in the implementation of described logical functions are represented
+
−
                        in
+
−
                        <ref>fig:scheme_buffer</ref>
+
−
                        ,
+
−
                        <ref>fig:scheme_nor</ref>
+
−
                        ,
+
−
                        <ref>fig:schemes_imply</ref>
+
−
                        and
+
−
                        <ref>fig:schemes_nimply</ref>
+
−
                        . All
+
−
                        of
+
−
                        them ignore the leakage due to the binding of the coiled-coils before cleavage, which could be
+
−
                        solved by setting
+
−
                        the
+
−
                        building elements with appropriate parameters as demonstrated in the experimental section on the
+
−
                        <a
+
−
                                 href="https://2016.igem.org/Team:Slovenia/Protease_signaling/Logic">CC-based logic
+
−
                            design. </a>
+
−
                    </p>
+
  
−
                    <figure data-ref="fig:scheme_buffer">
+
                            <p>Our protein-based system is designed in such a way that it works through coiled coil
−
                        <img class="ui huge centered image"
+
                                interactions, where each
−
                            src="https://static.igem.org/mediawiki/2016/2/20/T--Slovenia--5.5.2.png">
+
                                coiled
−
                        <figcaption>Scheme of the modelled function $f_1$.The output is represented with the emission of
+
                                coil in the system is either free or bound to its partner depending on the proteolytic
−
                            light induced
+
                                activity.
−
                            by
+
                                Furthermore,
−
                            reconstitution of the split firefly luciferase reporter.
+
                                the
−
                        </figcaption>
+
                                signal
−
                    </figure>
+
                                output is represented by reconstitution of a split protein (<i>i.e.</i> luciferase or
 +
                                protease),
 +
                                which
 +
                                is fused
 +
                                separately
 +
                                to
 +
                                different coiled coil segments. To prove the feasibility of this design, we simulated
 +
                                the
 +
                                system's behavior
 +
                                using
 +
                                deterministic modeling. The simulations were run in Wolfram Mathematica, using
 +
                                xCellerator's
 +
                                xlr8r
 +
                                libraries.</p>
  
−
                    <figure data-ref="fig:scheme_nor">
+
                            <p>The designed binary logic gates can be divided into 5 subgroups, based on the position of
−
                        <img class="ui huge centered image"
+
                                the
−
                            src="https://static.igem.org/mediawiki/2016/c/c7/T--Slovenia--5.5.3.png">
+
                                protease cleavage
−
                        <figcaption>Scheme of the modelled function $f_2$. The output is represented with the emission
+
                                sites:</p>
−
                            of light induced
+
                            <ul>
−
                            by
+
                                <li>a) cleavage site between coiled coils: conjunction, disjunction and both projection
−
                            reconstitution of the split firefly luciferase reporter.
+
                                    functions;
−
                        </figcaption>
+
                                </li>
−
                    </figure>
+
                                <li>b) cleavage site between the coiled coil and split protease: logical NAND, logical
 +
                                    NOR
 +
                                    and
 +
                                    both
 +
                                    negations;
 +
                                </li>
 +
                                <li>c) cleavage sites between coiled coils as well as between the coiled coil and split
 +
                                    protease
 +
                                    in
 +
                                    the same construct: material implication and converse implication;
 +
                                </li>
 +
                                <li>
 +
                                    d) cleavage sites between coiled coils as well as between the coiled coil and split
 +
                                    protease
 +
                                    in
 +
                                    different constructs: exclusive disjunction, logical biconditional, material
 +
                                    nonimplication
 +
                                    and
 +
                                    converse
 +
                                    nonimplication;
 +
                                </li>
 +
                                <li>e) no cleavage sites: tautology and contradiction.</li>
 +
                            </ul>
  
−
                    <figure data-ref="fig:schemes_imply">
+
                            <p>
−
                        <img class="ui huge centered image"
+
                                For applications that require fast response (<i>e.g.</i> protein secretion), which are
−
                            src="https://static.igem.org/mediawiki/2016/c/c1/T--Slovenia--5.5.4.png">
+
                                the purpose
−
                        <figcaption>Scheme of the modelled function $f_3$. The output is represented with the emission
+
                                of
−
                            of light induced
+
                                our attempt, only
−
                            by
+
                                falsity
−
                            reconstitution of the split firefly luciferase reporter.
+
                                preserving gates are appropriate, as biological systems usually require fast activation
−
                        </figcaption>
+
                                and
−
                    </figure>
+
                                not
 +
                                fast
 +
                                deactivation.
 +
                                The
 +
                                following functions correspond to the desired condition: both projection functions,
 +
                                conjunction,
 +
                                disjunction,
 +
                                exclusive
 +
                                disjunction, material nonimplication, converse nonimplication and true.
 +
                            </p>
 +
                            <p>
 +
                                Since the dynamics of both functions in subgroup e) is trivial, <i>i.e.</i> output is a
 +
                                constant,
 +
                                their
 +
                                modeling is
 +
                                omitted.
 +
                                We selected a single function from the other four subgroups, for which a mathematical
 +
                                model
 +
                                was
 +
                                established and
 +
                                analyzed. We selected the following functions $f_1(x_1, x_2) = x_1$ from subgroup a),
 +
                                $f_2(x_1,
 +
                                x_2) = \neg(x_1
 +
                                \vee
 +
                                x_2)$ from b), $f_3(x_1, x_2) = x_2 \Rightarrow x_1$ from c) and $f_4(x_1, x_2) =
 +
                                \neg(x_1
 +
                                \Rightarrow x_2)$
 +
                                from
 +
                                d).
 +
                            </p>
 +
                            <p>
 +
                                Inducible proteases were assumed as the two input variables for each function. The
 +
                                logical
 +
                                values true and false
 +
                                were in
 +
                                all the cases presented with high and low amounts of output proteins or input proteases,
 +
                                respectively. Where the
 +
                                output
 +
                                signal is presented with several different proteins, the sum of their concentrations was
 +
                                observed. The schemes
 +
                                of
 +
                                the
 +
                                assumed reactions included in the implementation of described logical functions are
 +
                                represented
 +
                                in
 +
                                <ref>fig:scheme_buffer</ref>
 +
                                ,
 +
                                <ref>fig:scheme_nor</ref>
 +
                                ,
 +
                                <ref>fig:schemes_imply</ref>
 +
                                and
 +
                                <ref>fig:schemes_nimply</ref>
 +
                                . All
 +
                                of
 +
                                them ignore the leakage due to the binding of the coiled coils before cleavage, which
 +
                                could
 +
                                be
 +
                                solved by setting
 +
                                the
 +
                                building elements with appropriate parameters as demonstrated in the experimental
 +
                                section on
 +
                                the
 +
                                <a
 +
                                        href="https://2016.igem.org/Team:Slovenia/Protease_signaling/Logic">CC-based
 +
                                    logic
 +
                                    design. </a>
 +
                            </p>
 +
                            <div style="float:left; width:100%">
 +
                                <figure data-ref="fig:scheme_buffer">
 +
                                    <img
 +
                                            src="https://static.igem.org/mediawiki/2016/2/20/T--Slovenia--5.5.2.png">
 +
                                    <figcaption><b>Scheme of the modeled function $f_1$.</b>
 +
                                        The output is represented with the
 +
                                        emission of
 +
                                        light induced
 +
                                        by
 +
                                        reconstitution of the split firefly luciferase reporter.
  
−
                    <figure data-ref="fig:schemes_nimply">
+
                                    </figcaption>
−
                        <img class="ui huge centered image"
+
                                </figure>
−
                            src="https://static.igem.org/mediawiki/2016/5/59/T--Slovenia--5.5.5.png">
+
                            </div>
−
                        <figcaption>Scheme of the modelled function $f_4$. The output is represented with the emission
+
−
                            of light induced
+
−
                            by
+
−
                            reconstitution of the split firefly luciferase reporter.
+
−
                        </figcaption>
+
−
                    </figure>
+
  
−
                    <h3><span id="model" class="section"> &nbsp; </span>Deterministic modeling</h3>
+
                            <div style="float:left; width:100%">
−
                    We have established the following ordinary differential equations (ODEs) based model:
+
                                <figure data-ref="fig:scheme_nor">
−
                    <h4>Projection function $f_1$</h4>
+
                                    <img
−
                    \begin{align}
+
                                            src="https://static.igem.org/mediawiki/2016/c/c7/T--Slovenia--5.5.3.png">
−
                    v'(t) =&
+
                                    <figcaption><b>Scheme of the modeled function $f_2$.</b>
−
                    \alpha_2 - \delta_1 * v(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\
+
                                        The output is represented with the
−
                    u'(t) =&
+
                                        emission
−
                    \alpha_2 - \delta_1 * u(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l(t) + \sigma_2 * p_1'(t), \\
+
                                        of light induced
−
                    g'(t) =& \alpha_1- \delta_1 * g(t) - \tau * g(t) * p_1(t), \\
+
                                        by
−
                    g_1'(t) =& -\delta_1 * g_1(t) + \gamma_2 * g_1g_2(t) +
+
                                        reconstitution of the split firefly luciferase reporter.
−
                    \beta_2 * g_1i(t) - \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t) - \beta_1 * g_1(t) * i(t), \\
+
                                    </figcaption>
−
                    g_1g_2'(t) =& -\gamma_2 * g_1g_2(t) + \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t) +
+
                                </figure>
−
                    \tau * g(t) * p_1(t), \\
+
                            </div>
−
                    g_1i'(t) =& -\delta_1 * g_1i(t) - \beta_2 * g_1i(t) +
+
−
                    \beta_1 * g_1(t) * i(t), \\
+
−
                    g_2'(t) =&
+
−
                    \gamma_2 * g_1g_2(t) - \delta_1 * g_2(t) - \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t), \\
+
−
                    i'(t) =&
+
−
                    \alpha_1+ \beta_2 * g_1i(t) - \delta_1 * i(t) - \beta_1 * g_1(t) * i(t),\\
+
−
                    p_1'(t) =& \sigma_1 * v(t) * u(t) * l(t) - \sigma_2 * p_1(t)
+
−
                    \end{align}
+
  
−
                    <h4>Logical NOR $f_2$</h4>
+
                            <div style="float:left; width:100%">
−
                    \begin{align}
+
                                <figure data-ref="fig:schemes_imply">
−
                    c'(t) =&
+
                                    <img
−
                    \alpha_1- \delta_1 * c(t) + \beta_2 * cd(t) - \beta_1 * c(t) * d(t) -
+
                                            src="https://static.igem.org/mediawiki/2016/c/c1/T--Slovenia--5.5.4.png">
−
                    \tau * c(t) * p_1(t), \\
+
                                    <figcaption><b>Scheme of the modeled function $f_3$.</b>
−
                    c_1'(t) =& -\delta_1 * c_1(t) + \tau * c(t) * p_1(t) +
+
                                        The output is represented with the
−
                    \tau * cd(t) * p_1(t), \\
+
                                        emission
−
                    c_2'(t) =& -\delta_1 * c_2(t) + \tau * c(t) * p_1(t), \\
+
                                        of light induced
−
                    c_2d'(t) =& \tau * cd(t) * p_1(t), \\
+
                                        by
−
                    cd'(t) =& -\delta_1 * cd(t) - \beta_2 * cd(t) +
+
                                        reconstitution of the split firefly luciferase reporter.
−
                    \beta_1 * c(t) * d(t) - \tau * cd(t) * p_1(t) - \tau * cd(t) * p_2(t), \\
+
                                    </figcaption>
−
                    cd_2'(t) =& \tau * cd(t) * p_2(t), \\
+
                                </figure>
−
                    v'(t) =&
+
                            </div>
−
                    \alpha_2 - \delta_1 * v(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\
+
                            <div style="float:left; width:100%">
−
                    w'(t) =&
+
                                <figure data-ref="fig:schemes_nimply">
−
                    \alpha_2 - \delta_1 * w(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t)+ \sigma_2 * p_2(t), \\
+
                                    <img
−
                    u'(t) =&
+
                                            src="https://static.igem.org/mediawiki/2016/5/59/T--Slovenia--5.5.5.png">
−
                    \alpha_2 - \delta_1 * u(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\
+
                                    <figcaption><b>Scheme of the modeled function $f_4$.</b>
−
                    z'(t) =&
+
                                        The output is represented with the
−
                    \alpha_2 - \delta_1 * z(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\
+
                                        emission
−
                    d'(t) =& \alpha_1+ \beta_2 * cd(t) - \delta_1 * d(t) - \beta_1 * c(t) * d(t) -
+
                                        of light induced
−
                    \tau * d(t) * p_2(t), \\
+
                                        by
−
                    d_1'(t) =& -\delta_1 * d_1(t) + \tau * cd(t) * p_2(t) +
+
                                        reconstitution of the split firefly luciferase reporter.
−
                    \tau * d(t) * p_2(t), \\
+
                                    </figcaption>
−
                    d_2'(t) =& -\delta_1 * d_2(t) + \tau * d(t) * p_2(t), \\
+
                                </figure>
−
                    p_1'(t) =& \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) - \sigma_2 * p_1(t), \\
+
                            </div>
−
                    p_2'(t) =& \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) - \sigma_2 * p_2(t)
+
                            <p style="clear:both"></p>
−
                    \end{align}
+
                        </div>
  
−
                     <h4>Converse implication f<sub>3</sub></h4>
+
                     <div class="ui segment">
−
                    \begin{align}
+
                        <h3><span id="model" class="section colorize"> &nbsp; </span>Deterministic modeling</h3>
−
                    b'(t) =&
+
−
                    \alpha_1- \delta_1 * b(t) - \beta_1 * b(t) * k_1(t) + \beta_2 * k_1b(t), \\
+
−
                    v'(t) =&
+
−
                    \alpha_2 - \delta_1 * v(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\
+
−
                    w'(t) =&
+
−
                    \alpha_2 - \delta_1 * w(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\
+
−
                    u'(t) =&
+
−
                    \alpha_2 - \delta_1 * u(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\
+
−
                    z'(t) =&
+
−
                    \alpha_2 - \delta_1 * z(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\
+
−
                    k'(t) =& \alpha_1- \delta_1 * k(t) - \tau * k(t) * p_1(t) - \tau * k(t) * p_2(t), \\
+
−
                    k_1'(t) =& -\delta_1 * k_1(t) - \beta_1 * b(t) * k_1(t) + \gamma_2 * k_{12}(t) + \\
+
−
                    & \gamma_2 * k_{123}(t) + \beta_2 * k_1b(t) - \gamma_1 * k_1(t) * k_2(t) - \\
+
−
                    & \gamma_1 * k_1(t) * k_{23}(t) + \tau * k(t) * p_1(t) + \tau * k_1k_2(t) * p_1(t), \\
+
−
                    k_{12}'(t) =& -\delta_1 * k_{12}(t) - \gamma_2 * k_{12}(t) +
+
−
                    \gamma_1 * k_1(t) * k_2(t), \\
+
−
                    k_{123}'(t) =& -\gamma_2 * k_{123}(t) + \gamma_1 * k_1(t) * k_{23}(t), \\
+
−
                    k_1b'(t) =&
+
−
                    \beta_1 * b(t) * k_1(t) - \delta_1 * k_1b(t) - \beta_2 * k_1b(t), \\
+
−
                    k_1k_2'(t) =& -\tau * k_1k_2(t) * p_1(t) + \tau * k(t) * p_2(t), \\
+
−
                    k_2'(t) =&
+
−
                    \gamma_2 * k_{12}(t) - \delta_1 * k_2(t) - \gamma_1 * k_1(t) * k_2(t) +
+
−
                    \tau * k_1k_2(t) * p_1(t) + \tau * k_{23}(t) * p_2(t), \\
+
−
                    k_{23}'(t) =&
+
−
                    \gamma_2 * k_{123}(t) - \delta_1 * k_{23}(t) - \gamma_1 * k_1(t) * k_{23}(t) +
+
−
                    \tau * k(t) * p_1(t) - \tau * k_{23}(t) * p_2(t), \\
+
−
                    k_3'(t) =& -\delta_1 * k_3(t) + \tau * k(t) * p_2(t) +
+
−
                    \tau * k_{23}(t) * p_2(t), \\
+
−
                    p_1'(t) =& \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) - \sigma_2 * p_1(t), \\
+
−
                    p_2'(t) =& \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) - \sigma_2 * p_2(t)
+
−
                    \end{align}
+
  
−
                    <h4>Mathematical nonimplication f<sub>4</sub></h4>
+
                        We have established the following ordinary differential equations (ODEs) based model:
−
                    \begin{align}
+
                        <h4>Projection function $f_1$</h4>
−
                    v'(t) =&
+
                        \begin{align}
−
                    \alpha_2 - \delta_1 * v(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\
+
                        v'(t) =&
−
                    w'(t) =&
+
                        \alpha_2 - \delta_1 * v(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\
−
                    \alpha_2 - \delta_1 * w(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\
+
                        u'(t) =&
−
                    u'(t) =&
+
                        \alpha_2 - \delta_1 * u(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l(t) + \sigma_2 * p_1'(t), \\
−
                    \alpha_2 - \delta_1 * u(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\
+
                        g'(t) =& \alpha_1- \delta_1 * g(t) - \tau * g(t) * p_1(t), \\
−
                    z'(t) =&
+
                        g_1'(t) =& -\delta_1 * g_1(t) + \gamma_2 * g_1g_2(t) +
−
                    \alpha_2 - \delta_1 * z(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\
+
                        \beta_2 * g_1i(t) - \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t) - \beta_1 * g_1(t) * i(t), \\
−
                    d'(t) =&
+
                        g_1g_2'(t) =& -\gamma_2 * g_1g_2(t) + \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t) +
−
                    \alpha_1- \delta_1 * d(t) - \beta_1 * d(t) * g_1(t) + \beta_2 * g_1d(t) -
+
                        \tau * g(t) * p_1(t), \\
−
                    \tau * d(t) * p_2(t), \\
+
                        g_1i'(t) =& -\delta_1 * g_1i(t) - \beta_2 * g_1i(t) +
−
                    d_1'(t) =& -\delta_1 * d_1(t) - \gamma_1 * d_1(t) * g_1(t) +
+
                        \beta_1 * g_1(t) * i(t), \\
−
                    \gamma_2 * g_1d_1(t) + \tau * d(t) * p_2(t), \\
+
                        g_2'(t) =&
−
                    d_2'(t) =& -\delta_1 * d_2(t) + \tau * d(t) * p_2(t) +
+
                        \gamma_2 * g_1g_2(t) - \delta_1 * g_2(t) - \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t), \\
−
                    \tau * g_1d(t) * p_2(t), \\
+
                        i'(t) =&
−
                    g'(t) =& \alpha_1- \delta_1 * g(t) - \tau * g(t) * p_1(t), \\
+
                        \alpha_1+ \beta_2 * g_1i(t) - \delta_1 * i(t) - \beta_1 * g_1(t) * i(t),\\
−
                    g_1'(t) =& -\delta_1 * g_1(t) - \beta_1 * d(t) * g_1(t) - \\
+
                        p_1'(t) =& \sigma_1 * v(t) * u(t) * l(t) - \sigma_2 * p_1(t)
−
                    &\gamma_1 * d_1(t) * g_1(t) + \beta_2 *
+
                        \end{align}
−
                    g_1d(t) + \gamma_2 * g_1d_1(t) +
+
−
                    \gamma_2 * g_1g_2(t) - \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t), \\
+
−
                    g_1d'(t) =&
+
−
                    \beta_1 * d(t) * g_1(t) - \delta_1 * g_1d(t) - \beta_2 * g_1d(t) -
+
−
                    \tau * g_1d(t) * p_2(t), \\
+
−
                    g_1d_1'(t) =&
+
−
                    \gamma_1 * d_1(t) * g_1(t) - \gamma_2 * g_1d_1(t) + \tau * g_1d(t) * p_2(t), \\
+
−
                    g_1g_2'(t) =& -\gamma_2 * g_1g_2(t) + \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t) +
+
−
                    \tau * g(t) * p_1(t), \\
+
−
                    g_2'(t) =&
+
−
                    \gamma_2 * g_1g_2(t) - \delta_1 * g_2(t) - \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t), \\
+
−
                    p_1'(t) =& \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) - \sigma_2 * p_1(t), \\
+
−
                    p_2'(t) =& \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) - \sigma_2 * p_2(t)
+
−
                    \end{align}
+
  
−
                    <p>
+
                        <h4>Logical NOR $f_2$</h4>
−
                         The function of light presence, denoted with $l(t)$, $l_1(t)$ or $l_2(t)$, is a piecewise
+
                         \begin{align}
−
                         function which equals
+
                        c'(t) =&
−
                         1 if
+
                        \alpha_1- \delta_1 * c(t) + \beta_2 * cd(t) - \beta_1 * c(t) * d(t) -
−
                         the
+
                         \tau * c(t) * p_1(t), \\
−
                        light is present and 0 otherwise. Functions $p_1$, $p_2$, $g$, $g_1$, $g_1d$, $g_1d_1$,
+
                         c_1'(t) =& -\delta_1 * c_1(t) + \tau * c(t) * p_1(t) +
−
                         $g_1g_2$, $g_1i$, $g_2$,
+
                         \tau * cd(t) * p_1(t), \\
−
                        $c$,
+
                         c_2'(t) =& -\delta_1 * c_2(t) + \tau * c(t) * p_1(t), \\
−
                         $c_1$, $c_2$, $c_2d$, $cd$, $cd_2$, $w$, $z$, $d$, $d_1$, $d_2$, $k$, $k_1$, $k_{12}$,
+
                         c_2d'(t) =& \tau * cd(t) * p_1(t), \\
−
                         $k_{123}$, $k_1b$,
+
                         cd'(t) =& -\delta_1 * cd(t) - \beta_2 * cd(t) +
−
                         $k_1k_2$,
+
                         \beta_1 * c(t) * d(t) - \tau * cd(t) * p_1(t) - \tau * cd(t) * p_2(t), \\
−
                         $k_2$, $k_{23}$, $k_3$, $i$, $b$, $k$, $v$, $u$,$w$, $z$ present concentrations of the equally
+
                         cd_2'(t) =& \tau * cd(t) * p_2(t), \\
−
                         labelled
+
                         v'(t) =&
−
                        proteins.
+
                         \alpha_2 - \delta_1 * v(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\
−
                        The
+
                         w'(t) =&
−
                        constants used for the model are described in
+
                         \alpha_2 - \delta_1 * w(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t)+ \sigma_2 * p_2(t), \\
−
                        <ref>tab:refs</ref>
+
                         u'(t) =&
−
                        .
+
                         \alpha_2 - \delta_1 * u(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\
−
                    </p>
+
                         z'(t) =&
−
                    <table class="ui collapsing unstackable celled table" data-ref="tab:refs">
+
                         \alpha_2 - \delta_1 * z(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\
−
                         <thead class="full-width">
+
                        d'(t) =& \alpha_1+ \beta_2 * cd(t) - \delta_1 * d(t) - \beta_1 * c(t) * d(t) -
−
                         <tr class="center aligned">
+
                         \tau * d(t) * p_2(t), \\
−
                            <th> Description</th>
+
                         d_1'(t) =& -\delta_1 * d_1(t) + \tau * cd(t) * p_2(t) +
−
                            <th> Name</th>
+
                         \tau * d(t) * p_2(t), \\
−
                            <th> Rate</th>
+
                         d_2'(t) =& -\delta_1 * d_2(t) + \tau * d(t) * p_2(t), \\
−
                            <th> Reference</th>
+
                         p_1'(t) =& \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) - \sigma_2 * p_1(t), \\
−
                         </tr>
+
                         p_2'(t) =& \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) - \sigma_2 * p_2(t)
−
                        </thead>
+
                         \end{align}
−
                        <tbody>
+
−
                        <tr>
+
−
                            <td>protein production rate</td>
+
−
                            <td>$\alpha$</td>
+
−
                            <td>3.5 * 20$^{-2}$ nMs$^{-1}$</td>
+
−
                            <td>
+
−
                                <x-ref>Mariani:2010, Alon:2006</x-ref>
+
−
                            </td>
+
−
                         </tr>
+
−
                         <tr>
+
−
                            <td>light inducible split protease production rate</td>
+
−
                            <td>$\alpha_2$</td>
+
−
                            <td>7 * 10$^{-1}$ nMs$^{-1}$</td>
+
−
                            <td>protein:protease DNA ratio is
+
−
                                1:20
+
−
                            </td>
+
−
                         </tr>
+
−
                         <tr>
+
−
                            <td>protein degradation rate</td>
+
−
                            <td>$\delta_1$</td>
+
−
                            <td>Log[2] / (3600 * 9) $s^{-1}$</td>
+
−
                            <td>
+
−
                                <x-ref>Eden:2011</x-ref>
+
−
                            </td>
+
−
                        </tr>
+
−
                        <tr>
+
−
                            <td>light inducible split protease dissociation rate</td>
+
−
                            <td> $\sigma_2$</td>
+
−
                            <td>Log[2] / (60 * 5.5) s$^{-1}$</td>
+
−
                            <td>
+
−
                                <x-ref>Taslimi:2016</x-ref>
+
−
                            </td>
+
−
                         </tr>
+
−
                         <tr>
+
−
                            <td>light inducible split protease association rate</td>
+
−
                            <td> $\sigma_1$</td>
+
−
                            <td>1 nM$^{-1}$ s$^{-1}$</td>
+
−
                            <td>
+
−
                                <x-ref>Alon:2006</x-ref>
+
−
                            </td>
+
−
                         </tr>
+
−
                         <tr>
+
−
                            <td>protease cleavage rate</td>
+
−
                            <td> $\tau$</td>
+
−
                            <td>1.2 * 10$^-6$ nM$^-1$ s$^{-1}$</td>
+
−
                            <td>
+
−
                                <x-ref>Yi:2013</x-ref>
+
−
                            </td>
+
−
                         </tr>
+
−
                        <tr>
+
−
                            <td>stronger coiled coils association rate</td>
+
−
                            <td> $\beta_1$</td>
+
−
                            <td>3.17 * 10$^{-3}$ nM$^{-1}$ s$^{-1}$</td>
+
−
                            <td>
+
−
                                <x-ref>DeCrescenzo:2003</x-ref>
+
−
                            </td>
+
−
                         </tr>
+
−
                        <tr>
+
−
                            <td>stronger coiled coils dissociation rate</td>
+
−
                            <td> $\beta_2$</td>
+
−
                            <td>2 * 10$^{-4}$ s$^{-1}$</td>
+
−
                            <td>
+
−
                                <x-ref>DeCrescenzo:2003</x-ref>
+
−
                            </td>
+
−
                        </tr>
+
−
                        <tr>
+
−
                            <td>weaker coiled coils association rate</td>
+
−
                            <td> $\gamma_1$</td>
+
−
                            <td>7.3 * 10$^{-6}$ nM$^{-1}$ s$^{-1}$</td>
+
−
                            <td>
+
−
                                <x-ref>DeCrescenzo:2003</x-ref>
+
−
                            </td>
+
−
                         </tr>
+
−
                        <tr>
+
−
                            <td>weaker coiled coils dissociation rate</td>
+
−
                            <td> $\gamma_2$</td>
+
−
                            <td>1.67 * 10$^{-1}$ s$^{-1}$</td>
+
−
                            <td>
+
−
                                <x-ref>DeCrescenzo:2003</x-ref>
+
−
                            </td>
+
−
                        </tr>
+
−
                        <tr>
+
−
                            <td>time of light exposure</td>
+
−
                            <td> /</td>
+
−
                            <td>60 s</td>
+
−
                            <td>
+
−
                                estimated from experimental results
+
−
                            </td>
+
−
                        </tr>
+
−
                        </tbody>
+
−
                    </table>
+
  
−
                    <h1><span id="results" class="section"> &nbsp; </span>Results</h1>
+
                        <h4>Converse implication $f_3$</h4>
−
                    <p>We simulated the dynamics of established logic gates with the numerical integration of their
+
                        \begin{align}
−
                         mathematical models
+
                        b'(t) =&
−
                         described in the previous paragraphs. The results of our simulations are shown in
+
                        \alpha_1- \delta_1 * b(t) - \beta_1 * b(t) * k_1(t) + \beta_2 * k_1b(t), \\
−
                         <ref>fig:buffer</ref>
+
                        v'(t) =&
−
                         ,
+
                        \alpha_2 - \delta_1 * v(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\
−
                         <ref>fig:nor</ref>
+
                         w'(t) =&
−
                         ,
+
                         \alpha_2 - \delta_1 * w(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\
−
                         <ref>fig:imply</ref>
+
                         u'(t) =&
−
                         and
+
                         \alpha_2 - \delta_1 * u(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\
−
                         <ref>fig:nimply</ref>
+
                         z'(t) =&
−
                         .
+
                         \alpha_2 - \delta_1 * z(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\
−
                         They confirm our
+
                         k'(t) =& \alpha_1- \delta_1 * k(t) - \tau * k(t) * p_1(t) - \tau * k(t) * p_2(t), \\
−
                         assumption that all four types of logic functions offer short delay compared to their
+
                         k_1'(t) =& -\delta_1 * k_1(t) - \beta_1 * b(t) * k_1(t) + \gamma_2 * k_{12}(t) + \\
−
                         equivalents based on
+
                         & \gamma_2 * k_{123}(t) + \beta_2 * k_1b(t) - \gamma_1 * k_1(t) * k_2(t) -
−
                         genetic
+
                         \gamma_1 * k_1(t) * k_{23}(t) \\
−
                         regulatory networks. The rise and fall times of our gates are simulated to be at around 70
+
                         &+ \tau * k(t) * p_1(t) + \tau * k_1k_2(t) * p_1(t), \\
−
                         seconds compared to
+
                         k_{12}'(t) =& -\delta_1 * k_{12}(t) - \gamma_2 * k_{12}(t) +
−
                         hours
+
                         \gamma_1 * k_1(t) * k_2(t), \\
−
                         that transcription regulation circuits usually require.
+
                         k_{123}'(t) =& -\gamma_2 * k_{123}(t) + \gamma_1 * k_1(t) * k_{23}(t), \\
−
                    </p>
+
                         k_1b'(t) =&
 +
                         \beta_1 * b(t) * k_1(t) - \delta_1 * k_1b(t) - \beta_2 * k_1b(t), \\
 +
                         k_1k_2'(t) =& -\tau * k_1k_2(t) * p_1(t) + \tau * k(t) * p_2(t), \\
 +
                         k_2'(t) =&
 +
                        \gamma_2 * k_{12}(t) - \delta_1 * k_2(t) - \gamma_1 * k_1(t) * k_2(t) +
 +
                        \tau * k_1k_2(t) * p_1(t) + \tau * k_{23}(t) * p_2(t), \\
 +
                        k_{23}'(t) =&
 +
                        \gamma_2 * k_{123}(t) - \delta_1 * k_{23}(t) - \gamma_1 * k_1(t) * k_{23}(t) +
 +
                        \tau * k(t) * p_1(t) - \tau * k_{23}(t) * p_2(t), \\
 +
                        k_3'(t) =& -\delta_1 * k_3(t) + \tau * k(t) * p_2(t) +
 +
                        \tau * k_{23}(t) * p_2(t), \\
 +
                        p_1'(t) =& \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) - \sigma_2 * p_1(t), \\
 +
                        p_2'(t) =& \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) - \sigma_2 * p_2(t)
 +
                        \end{align}
  
−
                    <figure data-ref="fig:buffer">
+
                        <h4>Mathematical nonimplication $f_4$</h4>
−
                         <img class="ui huge centered image"
+
                        \begin{align}
−
                            src="https://static.igem.org/mediawiki/2016/7/7a/T--Slovenia--5.5.6.png">
+
                        v'(t) =&
−
                         <figcaption><b>$x_1$.</b> The output concentration of the logical function $x_1$ is shown with
+
                        \alpha_2 - \delta_1 * v(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\
−
                            both possible
+
                        w'(t) =&
−
                            inputs
+
                         \alpha_2 - \delta_1 * w(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\
−
                            in the
+
                        u'(t) =&
−
                            following order 0, 1.
+
                        \alpha_2 - \delta_1 * u(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\
−
                         </figcaption>
+
                        z'(t) =&
−
                    </figure>
+
                        \alpha_2 - \delta_1 * z(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\
 +
                        d'(t) =&
 +
                        \alpha_1- \delta_1 * d(t) - \beta_1 * d(t) * g_1(t) + \beta_2 * g_1d(t) -
 +
                         \tau * d(t) * p_2(t), \\
 +
                        d_1'(t) =& -\delta_1 * d_1(t) - \gamma_1 * d_1(t) * g_1(t) +
 +
                        \gamma_2 * g_1d_1(t) + \tau * d(t) * p_2(t), \\
 +
                        d_2'(t) =& -\delta_1 * d_2(t) + \tau * d(t) * p_2(t) +
 +
                        \tau * g_1d(t) * p_2(t), \\
 +
                         g'(t) =& \alpha_1- \delta_1 * g(t) - \tau * g(t) * p_1(t), \\
 +
                        g_1'(t) =& -\delta_1 * g_1(t) - \beta_1 * d(t) * g_1(t) - \gamma_1 * d_1(t) * g_1(t) \\
 +
                        & + \beta_2 * g_1d(t) + \gamma_2 * g_1d_1(t) +
 +
                        \gamma_2 * g_1g_2(t) - \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t), \\
 +
                        g_1d'(t) =&
 +
                        \beta_1 * d(t) * g_1(t) - \delta_1 * g_1d(t) - \beta_2 * g_1d(t) -
 +
                        \tau * g_1d(t) * p_2(t), \\
 +
                        g_1d_1'(t) =&
 +
                        \gamma_1 * d_1(t) * g_1(t) - \gamma_2 * g_1d_1(t) + \tau * g_1d(t) * p_2(t), \\
 +
                        g_1g_2'(t) =& -\gamma_2 * g_1g_2(t) + \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t) +
 +
                        \tau * g(t) * p_1(t), \\
 +
                        g_2'(t) =&
 +
                        \gamma_2 * g_1g_2(t) - \delta_1 * g_2(t) - \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t), \\
 +
                        p_1'(t) =& \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) - \sigma_2 * p_1(t), \\
 +
                        p_2'(t) =& \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) - \sigma_2 * p_2(t)
 +
                        \end{align}
  
−
                    <figure data-ref="fig:nor">
+
                        <p>
−
                        <img class="ui huge centered image"
+
                            The function of light presence, denoted with $l(t)$, $l_1(t)$ or $l_2(t)$, is a
−
                            src="https://static.igem.org/mediawiki/2016/2/27/T--Slovenia--5.5.7.png">
+
                            piecewise
−
                        <figcaption><b>$x_1$ NOR $x_2$.</b> The output concentration of the logical function $x_1$ NOR
+
                            function which equals 1 if the light is present and 0 otherwise. Functions $p_1$, $p_2$,
−
                             $x_2$ is shown
+
                            $g$,
−
                             with
+
                            $g_1$,
−
                             all
+
                            $g_1d$, $g_1d_1$, $g_1g_2$, $g_1i$, $g_2$, $c$, $c_1$, $c_2$, $c_2d$, $cd$, $cd_2$, $w$,
−
                             four
+
                            $z$,
−
                             possible inputs in the following order (0,0), (0,1), (1,0), (1,1).
+
                            $d$, $d_1$, $d_2$, $k$, $k_1$, $k_{12}$,
−
                         </figcaption>
+
                            $k_{123}$, $k_1b$, $k_1k_2$, $k_2$, $k_{23}$, $k_3$, $i$, $b$, $k$, $v$, $u$, $w$, $z$
−
                     </figure>
+
                            present
 +
                            concentrations of the
 +
                            equally labelled proteins. The constants used for the model are described in
 +
                            <ref>tab:refs</ref>
 +
                            .
 +
                        </p>
 +
                        <table class="ui collapsing unstackable celled table" data-ref="tab:refs">
 +
                            <thead class="full-width">
 +
                            <tr class="center aligned">
 +
                                <th> Description</th>
 +
                                <th> Name</th>
 +
                                <th> Rate</th>
 +
                                <th> Reference</th>
 +
                            </tr>
 +
                            </thead>
 +
                            <tbody>
 +
                            <tr>
 +
                                <td>protein production rate</td>
 +
                                <td>$\alpha$</td>
 +
                                <td>3.5 * 20$^{-2}$ nMs$^{-1}$</td>
 +
                                <td>
 +
                                    <x-ref>Mariani:2010, Alon:2006</x-ref>
 +
                                </td>
 +
                            </tr>
 +
                            <tr>
 +
                                <td>light inducible split protease production rate</td>
 +
                                <td>$\alpha_2$</td>
 +
                                <td>7 * 10$^{-1}$ nMs$^{-1}$</td>
 +
                                <td>protein:protease DNA ratio is
 +
                                    1:20
 +
                                </td>
 +
                            </tr>
 +
                            <tr>
 +
                                <td>protein degradation rate</td>
 +
                                <td>$\delta_1$</td>
 +
                                <td>Log[2] / (3600 * 9) $s^{-1}$</td>
 +
                                <td>
 +
                                    <x-ref>Eden:2011</x-ref>
 +
                                </td>
 +
                            </tr>
 +
                            <tr>
 +
                                <td>light inducible split protease dissociation rate</td>
 +
                                <td> $\sigma_2$</td>
 +
                                <td>Log[2] / (60 * 5.5) s$^{-1}$</td>
 +
                                <td>
 +
                                    <x-ref>Taslimi:2016</x-ref>
 +
                                </td>
 +
                            </tr>
 +
                            <tr>
 +
                                <td>light inducible split protease association rate</td>
 +
                                <td> $\sigma_1$</td>
 +
                                <td>1 nM$^{-1}$ s$^{-1}$</td>
 +
                                <td>
 +
                                    <x-ref>Alon:2006</x-ref>
 +
                                </td>
 +
                            </tr>
 +
                            <tr>
 +
                                <td>protease cleavage rate</td>
 +
                                <td> $\tau$</td>
 +
                                <td>1.2 * 10$^-6$ nM$^-1$ s$^{-1}$</td>
 +
                                <td>
 +
                                    <x-ref>Yi:2013</x-ref>
 +
                                </td>
 +
                             </tr>
 +
                            <tr>
 +
                                <td>stronger coiled coils association rate</td>
 +
                                <td> $\beta_1$</td>
 +
                                <td>3.17 * 10$^{-3}$ nM$^{-1}$ s$^{-1}$</td>
 +
                                <td>
 +
                                    <x-ref>DeCrescenzo:2003</x-ref>
 +
                                </td>
 +
                             </tr>
 +
                             <tr>
 +
                                <td>stronger coiled coils dissociation rate</td>
 +
                                <td> $\beta_2$</td>
 +
                                <td>2 * 10$^{-4}$ s$^{-1}$</td>
 +
                                <td>
 +
                                    <x-ref>DeCrescenzo:2003</x-ref>
 +
                                </td>
 +
                             </tr>
 +
                             <tr>
 +
                                <td>weaker coiled coils association rate</td>
 +
                                <td> $\gamma_1$</td>
 +
                                <td>7.3 * 10$^{-6}$ nM$^{-1}$ s$^{-1}$</td>
 +
                                <td>
 +
                                    <x-ref>DeCrescenzo:2003</x-ref>
 +
                                </td>
 +
                            </tr>
 +
                            <tr>
 +
                                <td>weaker coiled coils dissociation rate</td>
 +
                                <td> $\gamma_2$</td>
 +
                                <td>1.67 * 10$^{-1}$ s$^{-1}$</td>
 +
                                <td>
 +
                                    <x-ref>DeCrescenzo:2003</x-ref>
 +
                                </td>
 +
                            </tr>
 +
                            <tr>
 +
                                <td>time of light exposure</td>
 +
                                <td> /</td>
 +
                                <td>60 s</td>
 +
                                <td>
 +
                                    estimated from experimental results
 +
                                </td>
 +
                            </tr>
 +
                            </tbody>
 +
                         </table>
 +
                     </div>
 +
                    <div>
 +
                        <h1><span id="results" class="section colorize"> &nbsp; </span>Results</h1>
 +
                        <div class="ui segment">
 +
                            <p>We simulated the dynamics of established logic gates with the numerical integration of
 +
                                their
 +
                                mathematical models
 +
                                described in the previous paragraphs. The results of our simulations are shown in
 +
                                <ref>fig:buffer</ref>
 +
                                ,
 +
                                <ref>fig:nor</ref>
 +
                                ,
 +
                                <ref>fig:imply</ref>
 +
                                and
 +
                                <ref>fig:nimply</ref>
 +
                                .
 +
                                They confirm our
 +
                                assumption that all four types of logic functions offer shorter delay compared to their
 +
                                equivalents based on
 +
                                genetic
 +
                                regulatory networks. The rise and fall times of our gates are simulated to be at around
 +
                                70
 +
                                seconds compared to
 +
                                hours
 +
                                that transcription regulation circuits usually require.
 +
                            </p>
  
−
                    <figure data-ref="fig:imply">
+
                            <div style="float:left; width:100%">
−
                        <img class="ui huge centered image"
+
                                <figure data-ref="fig:buffer">
−
                            src="https://static.igem.org/mediawiki/2016/0/06/T--Slovenia--5.5.8.png">
+
                                    <img class="ui huge centered image"
−
                        <figcaption><b>$x_2$ imply $x_1$.</b> The output concentration of the logical function $x_2$
+
                                        src="https://static.igem.org/mediawiki/2016/7/7a/T--Slovenia--5.5.6.png">
−
                            imply $x_1$ is
+
                                    <figcaption><b>$x_1$.</b>
−
                            shown
+
                                        The output concentration of the logical function $x_1$
−
                            with all
+
                                        is shown
−
                            four
+
                                        with
−
                            possible inputs in the following order (0,0), (0,1), (1,0), (1,1).
+
                                        both possible
−
                        </figcaption>
+
                                        inputs
−
                    </figure>
+
                                        in the
 +
                                        following order 0, 1.
 +
                                    </figcaption>
 +
                                </figure>
 +
                            </div>
  
−
                    <figure data-ref="fig:nimply">
+
                            <div style="float:left; width:100%">
−
                        <img class="ui huge centered image"
+
                                <figure data-ref="fig:nor">
−
                            src="https://static.igem.org/mediawiki/2016/1/11/T--Slovenia--5.5.9.png">
+
                                    <img
−
                        <figcaption><b>$x_1$ nimply $x_2$.</b> The output concentration of the logical function $x_1$
+
                                            src="https://static.igem.org/mediawiki/2016/2/27/T--Slovenia--5.5.7.png">
−
                            nimply $x_2$ is
+
                                    <figcaption><b>$x_1$ NOR $x_2$.</b>
−
                            shown
+
                                        The output concentration of the logical function $x_1$
−
                            with
+
                                        NOR
−
                            all four possible inputs in the following order (0,0), (0,1), (1,0), (1,1).
+
                                        $x_2$ is shown
−
                        </figcaption>
+
                                        with
−
                    </figure>
+
                                        all
 +
                                        four
 +
                                        possible inputs in the following order (0,0), (0,1), (1,0), (1,1).
 +
                                    </figcaption>
 +
                                </figure>
 +
                            </div>
  
−
                    <p>
+
                            <div style="float:left; width:100%">
−
                        Our system also allows us to shorten the lifetime of the output signal without significantly
+
                                <figure data-ref="fig:imply">
−
                        reducing its
+
                                    <img
−
                        concentrations, by adding degradation tags to the output protein. The high output times achieved
+
                                            src="https://static.igem.org/mediawiki/2016/0/06/T--Slovenia--5.5.8.png">
−
                        can even be
+
                                    <figcaption><b>$x_2$ imply $x_1$.</b>
−
                        similar
+
                                        The output concentration of the logical function $x_2$
−
                        to
+
                                        imply $x_1$ is
−
                        the input light induction time of 1 minute. These two characteristics can importantly influence
+
                                        shown
−
                        several
+
                                        with all
−
                        sequential
+
                                        four
−
                        induction of logic gates and the further development of several layered logic circuits.
+
                                        possible inputs in the following order (0,0), (0,1), (1,0), (1,1).
−
                    </p>
+
                                    </figcaption>
 +
                                </figure>
 +
                            </div>
  
−
                    <figure data-ref="fig:reducedtime">
+
                            <div style="float:left; width:100%">
−
                        <img class="ui huge centered image"
+
                                <figure data-ref="fig:nimply">
−
                            src="https://static.igem.org/mediawiki/2016/0/08/T--Slovenia--5.5.10.png"
+
                                    <img
−
                        >
+
                                            src="https://static.igem.org/mediawiki/2016/1/11/T--Slovenia--5.5.9.png">
−
                        <figcaption>Shortened output time due to the addition of degradation tags to the output
+
                                    <figcaption><b>$x_1$ nimply $x_2$.</b>
−
                            protein.
+
                                        The output concentration of the logical function
−
                        </figcaption>
+
                                        $x_1$
−
                    </figure>
+
                                        nimply $x_2$ is
 +
                                        shown
 +
                                        with
 +
                                        all four possible inputs in the following order (0,0), (0,1), (1,0), (1,1).
 +
                                    </figcaption>
 +
                                </figure>
 +
                            </div>
  
−
                    <h2 id="ref-title" class="ui centered dividing header">References</h2>
+
                            <p>
−
                     <div class="citing" id="references"></div>
+
                                Our system also allows us to shorten the lifetime of the output signal without
 +
                                significantly
 +
                                reducing its
 +
                                concentrations by adding degradation tags to the output protein. The high output times
 +
                                achieved
 +
                                can even be
 +
                                similar
 +
                                to
 +
                                the input light induction time of 1 minute. These two characteristics can importantly
 +
                                influence
 +
                                several
 +
                                sequential
 +
                                induction of logic gates and the further development of several layered logic circuits.
 +
                            </p>
 +
                            <div style="width:60%">
 +
                                <figure data-ref="fig:reducedtime">
 +
                                    <img src="https://static.igem.org/mediawiki/2016/0/08/T--Slovenia--5.5.10.png"
 +
                                    >
 +
                                    <figcaption>Shortened output time due to the addition of
 +
                                        degradation tags to the output
 +
                                        protein.
 +
                                    </figcaption>
 +
                                </figure>
 +
                            </div>
 +
                        </div>
 +
                    </div>
 +
                    <h3 class="ui left dividing header"><span id="ref-title" class="section colorize">&nbsp;</span>References
 +
                    </h3>
 +
                     <div class="ui segment citing" id="references"></div>
 
                 </div>
 
                 </div>
 
             </div>
 
             </div>
 
         </div>
 
         </div>
 
     </div>
 
     </div>
 +
</div>
 +
<div>
 +
    <a href="//igem.org/Main_Page">
 +
        <img border="0" alt="iGEM" src="//2016.igem.org/wiki/images/8/84/T--Slovenia--logo_250x250.png" width="5%"
 +
            style="position: fixed; bottom:0; right:1%;">
 +
    </a>
 
</div>
 
</div>
 
</body>
 
</body>
 
</html>
 
</html>

Latest revision as of 17:49, 19 October 2016

Model Logic

CaPTURE Modeling logic gates Achievements Introduction Deterministic modeling Results Coiled Coil interaction model

  Modeling logic gates

  • Fourteen coiled-coil-based logic operations were designed and modeled in order to function in vivo.
  • Fast response was obtained upon reconstitution of light inducible proteases used as input.

 

Engineering and designing biological circuits constitute a central core of synthetic biology. In the context of our iGEM project, one of the challenges was to create, tune and regulate novel pathways in living cells using a fast-relay system. The toolset of orthogonal proteases that we developed worked as input for logic function in mammalian cells. Therefore, here we propose schemes for implementation of all 14 non-trivial two input binary logic functions based on a protein-protein interaction (coiled coil) and proteolysis system in cells (fig:logicfunctions). Designed logic gates based on protein-protein interaction are expected to have a shorter time delay compared to their analogues based on transcription activation Gaber:2014, Kiani:2014 .

Scheme of all non-trivial two input logic functions.

Implementation of all 14 two input non-trivial logic operations based on the proteolysis and coiled coil displacement. Note that in addition to the previously publishes coiled coil-based protease sensor Shekhawat2009 we introduce an additional site for the proteolytic cleavage which enables implementation of all logic functions in a single layer.

The main post-translational modification on which signaling and information processing systems are based is protein phosphorylation, which enables reversibility and fast response. Proteolysis is on the other hand irreversible, which imposes some limitations with respect to phosphorylation. However for many applications fast activation is most important, while the time to reset the system in the resting state is of secondary importance.

Our protein-based system is designed in such a way that it works through coiled coil interactions, where each coiled coil in the system is either free or bound to its partner depending on the proteolytic activity. Furthermore, the signal output is represented by reconstitution of a split protein (i.e. luciferase or protease), which is fused separately to different coiled coil segments. To prove the feasibility of this design, we simulated the system's behavior using deterministic modeling. The simulations were run in Wolfram Mathematica, using xCellerator's xlr8r libraries.

The designed binary logic gates can be divided into 5 subgroups, based on the position of the protease cleavage sites:

  • a) cleavage site between coiled coils: conjunction, disjunction and both projection functions;
  • b) cleavage site between the coiled coil and split protease: logical NAND, logical NOR and both negations;
  • c) cleavage sites between coiled coils as well as between the coiled coil and split protease in the same construct: material implication and converse implication;
  • d) cleavage sites between coiled coils as well as between the coiled coil and split protease in different constructs: exclusive disjunction, logical biconditional, material nonimplication and converse nonimplication;
  • e) no cleavage sites: tautology and contradiction.

For applications that require fast response (e.g. protein secretion), which are the purpose of our attempt, only falsity preserving gates are appropriate, as biological systems usually require fast activation and not fast deactivation. The following functions correspond to the desired condition: both projection functions, conjunction, disjunction, exclusive disjunction, material nonimplication, converse nonimplication and true.

Since the dynamics of both functions in subgroup e) is trivial, i.e. output is a constant, their modeling is omitted. We selected a single function from the other four subgroups, for which a mathematical model was established and analyzed. We selected the following functions $f_1(x_1, x_2) = x_1$ from subgroup a), $f_2(x_1, x_2) = \neg(x_1 \vee x_2)$ from b), $f_3(x_1, x_2) = x_2 \Rightarrow x_1$ from c) and $f_4(x_1, x_2) = \neg(x_1 \Rightarrow x_2)$ from d).

Inducible proteases were assumed as the two input variables for each function. The logical values true and false were in all the cases presented with high and low amounts of output proteins or input proteases, respectively. Where the output signal is presented with several different proteins, the sum of their concentrations was observed. The schemes of the assumed reactions included in the implementation of described logical functions are represented in fig:scheme_buffer , fig:scheme_nor , fig:schemes_imply and fig:schemes_nimply . All of them ignore the leakage due to the binding of the coiled coils before cleavage, which could be solved by setting the building elements with appropriate parameters as demonstrated in the experimental section on the CC-based logic design.

Scheme of the modeled function $f_1$. The output is represented with the emission of light induced by reconstitution of the split firefly luciferase reporter.
Scheme of the modeled function $f_2$. The output is represented with the emission of light induced by reconstitution of the split firefly luciferase reporter.
Scheme of the modeled function $f_3$. The output is represented with the emission of light induced by reconstitution of the split firefly luciferase reporter.
Scheme of the modeled function $f_4$. The output is represented with the emission of light induced by reconstitution of the split firefly luciferase reporter.

  Deterministic modeling

We have established the following ordinary differential equations (ODEs) based model:

Projection function $f_1$

\begin{align} v'(t) =& \alpha_2 - \delta_1 * v(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\ u'(t) =& \alpha_2 - \delta_1 * u(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l(t) + \sigma_2 * p_1'(t), \\ g'(t) =& \alpha_1- \delta_1 * g(t) - \tau * g(t) * p_1(t), \\ g_1'(t) =& -\delta_1 * g_1(t) + \gamma_2 * g_1g_2(t) + \beta_2 * g_1i(t) - \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t) - \beta_1 * g_1(t) * i(t), \\ g_1g_2'(t) =& -\gamma_2 * g_1g_2(t) + \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t) + \tau * g(t) * p_1(t), \\ g_1i'(t) =& -\delta_1 * g_1i(t) - \beta_2 * g_1i(t) + \beta_1 * g_1(t) * i(t), \\ g_2'(t) =& \gamma_2 * g_1g_2(t) - \delta_1 * g_2(t) - \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t), \\ i'(t) =& \alpha_1+ \beta_2 * g_1i(t) - \delta_1 * i(t) - \beta_1 * g_1(t) * i(t),\\ p_1'(t) =& \sigma_1 * v(t) * u(t) * l(t) - \sigma_2 * p_1(t) \end{align}

Logical NOR $f_2$

\begin{align} c'(t) =& \alpha_1- \delta_1 * c(t) + \beta_2 * cd(t) - \beta_1 * c(t) * d(t) - \tau * c(t) * p_1(t), \\ c_1'(t) =& -\delta_1 * c_1(t) + \tau * c(t) * p_1(t) + \tau * cd(t) * p_1(t), \\ c_2'(t) =& -\delta_1 * c_2(t) + \tau * c(t) * p_1(t), \\ c_2d'(t) =& \tau * cd(t) * p_1(t), \\ cd'(t) =& -\delta_1 * cd(t) - \beta_2 * cd(t) + \beta_1 * c(t) * d(t) - \tau * cd(t) * p_1(t) - \tau * cd(t) * p_2(t), \\ cd_2'(t) =& \tau * cd(t) * p_2(t), \\ v'(t) =& \alpha_2 - \delta_1 * v(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\ w'(t) =& \alpha_2 - \delta_1 * w(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t)+ \sigma_2 * p_2(t), \\ u'(t) =& \alpha_2 - \delta_1 * u(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\ z'(t) =& \alpha_2 - \delta_1 * z(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\ d'(t) =& \alpha_1+ \beta_2 * cd(t) - \delta_1 * d(t) - \beta_1 * c(t) * d(t) - \tau * d(t) * p_2(t), \\ d_1'(t) =& -\delta_1 * d_1(t) + \tau * cd(t) * p_2(t) + \tau * d(t) * p_2(t), \\ d_2'(t) =& -\delta_1 * d_2(t) + \tau * d(t) * p_2(t), \\ p_1'(t) =& \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) - \sigma_2 * p_1(t), \\ p_2'(t) =& \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) - \sigma_2 * p_2(t) \end{align}

Converse implication $f_3$

\begin{align} b'(t) =& \alpha_1- \delta_1 * b(t) - \beta_1 * b(t) * k_1(t) + \beta_2 * k_1b(t), \\ v'(t) =& \alpha_2 - \delta_1 * v(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\ w'(t) =& \alpha_2 - \delta_1 * w(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\ u'(t) =& \alpha_2 - \delta_1 * u(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\ z'(t) =& \alpha_2 - \delta_1 * z(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\ k'(t) =& \alpha_1- \delta_1 * k(t) - \tau * k(t) * p_1(t) - \tau * k(t) * p_2(t), \\ k_1'(t) =& -\delta_1 * k_1(t) - \beta_1 * b(t) * k_1(t) + \gamma_2 * k_{12}(t) + \\ & \gamma_2 * k_{123}(t) + \beta_2 * k_1b(t) - \gamma_1 * k_1(t) * k_2(t) - \gamma_1 * k_1(t) * k_{23}(t) \\ &+ \tau * k(t) * p_1(t) + \tau * k_1k_2(t) * p_1(t), \\ k_{12}'(t) =& -\delta_1 * k_{12}(t) - \gamma_2 * k_{12}(t) + \gamma_1 * k_1(t) * k_2(t), \\ k_{123}'(t) =& -\gamma_2 * k_{123}(t) + \gamma_1 * k_1(t) * k_{23}(t), \\ k_1b'(t) =& \beta_1 * b(t) * k_1(t) - \delta_1 * k_1b(t) - \beta_2 * k_1b(t), \\ k_1k_2'(t) =& -\tau * k_1k_2(t) * p_1(t) + \tau * k(t) * p_2(t), \\ k_2'(t) =& \gamma_2 * k_{12}(t) - \delta_1 * k_2(t) - \gamma_1 * k_1(t) * k_2(t) + \tau * k_1k_2(t) * p_1(t) + \tau * k_{23}(t) * p_2(t), \\ k_{23}'(t) =& \gamma_2 * k_{123}(t) - \delta_1 * k_{23}(t) - \gamma_1 * k_1(t) * k_{23}(t) + \tau * k(t) * p_1(t) - \tau * k_{23}(t) * p_2(t), \\ k_3'(t) =& -\delta_1 * k_3(t) + \tau * k(t) * p_2(t) + \tau * k_{23}(t) * p_2(t), \\ p_1'(t) =& \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) - \sigma_2 * p_1(t), \\ p_2'(t) =& \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) - \sigma_2 * p_2(t) \end{align}

Mathematical nonimplication $f_4$

\begin{align} v'(t) =& \alpha_2 - \delta_1 * v(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\ w'(t) =& \alpha_2 - \delta_1 * w(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\ u'(t) =& \alpha_2 - \delta_1 * u(t) - \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) + \sigma_2 * p_1(t), \\ z'(t) =& \alpha_2 - \delta_1 * z(t) - \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) + \sigma_2 * p_2(t), \\ d'(t) =& \alpha_1- \delta_1 * d(t) - \beta_1 * d(t) * g_1(t) + \beta_2 * g_1d(t) - \tau * d(t) * p_2(t), \\ d_1'(t) =& -\delta_1 * d_1(t) - \gamma_1 * d_1(t) * g_1(t) + \gamma_2 * g_1d_1(t) + \tau * d(t) * p_2(t), \\ d_2'(t) =& -\delta_1 * d_2(t) + \tau * d(t) * p_2(t) + \tau * g_1d(t) * p_2(t), \\ g'(t) =& \alpha_1- \delta_1 * g(t) - \tau * g(t) * p_1(t), \\ g_1'(t) =& -\delta_1 * g_1(t) - \beta_1 * d(t) * g_1(t) - \gamma_1 * d_1(t) * g_1(t) \\ & + \beta_2 * g_1d(t) + \gamma_2 * g_1d_1(t) + \gamma_2 * g_1g_2(t) - \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t), \\ g_1d'(t) =& \beta_1 * d(t) * g_1(t) - \delta_1 * g_1d(t) - \beta_2 * g_1d(t) - \tau * g_1d(t) * p_2(t), \\ g_1d_1'(t) =& \gamma_1 * d_1(t) * g_1(t) - \gamma_2 * g_1d_1(t) + \tau * g_1d(t) * p_2(t), \\ g_1g_2'(t) =& -\gamma_2 * g_1g_2(t) + \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t) + \tau * g(t) * p_1(t), \\ g_2'(t) =& \gamma_2 * g_1g_2(t) - \delta_1 * g_2(t) - \gamma_1 * g_1(t) * g_2(t), \\ p_1'(t) =& \sigma_1 * v(t) * u(t) * l_1(t) - \sigma_2 * p_1(t), \\ p_2'(t) =& \sigma_1 * w(t) * z(t) * l_2(t) - \sigma_2 * p_2(t) \end{align}

The function of light presence, denoted with $l(t)$, $l_1(t)$ or $l_2(t)$, is a piecewise function which equals 1 if the light is present and 0 otherwise. Functions $p_1$, $p_2$, $g$, $g_1$, $g_1d$, $g_1d_1$, $g_1g_2$, $g_1i$, $g_2$, $c$, $c_1$, $c_2$, $c_2d$, $cd$, $cd_2$, $w$, $z$, $d$, $d_1$, $d_2$, $k$, $k_1$, $k_{12}$, $k_{123}$, $k_1b$, $k_1k_2$, $k_2$, $k_{23}$, $k_3$, $i$, $b$, $k$, $v$, $u$, $w$, $z$ present concentrations of the equally labelled proteins. The constants used for the model are described in tab:refs .

Description Name Rate Reference
protein production rate $\alpha$ 3.5 * 20$^{-2}$ nMs$^{-1}$ Mariani:2010, Alon:2006
light inducible split protease production rate $\alpha_2$ 7 * 10$^{-1}$ nMs$^{-1}$ protein:protease DNA ratio is 1:20
protein degradation rate $\delta_1$ Log[2] / (3600 * 9) $s^{-1}$ Eden:2011
light inducible split protease dissociation rate $\sigma_2$ Log[2] / (60 * 5.5) s$^{-1}$ Taslimi:2016
light inducible split protease association rate $\sigma_1$ 1 nM$^{-1}$ s$^{-1}$ Alon:2006
protease cleavage rate $\tau$ 1.2 * 10$^-6$ nM$^-1$ s$^{-1}$ Yi:2013
stronger coiled coils association rate $\beta_1$ 3.17 * 10$^{-3}$ nM$^{-1}$ s$^{-1}$ DeCrescenzo:2003
stronger coiled coils dissociation rate $\beta_2$ 2 * 10$^{-4}$ s$^{-1}$ DeCrescenzo:2003
weaker coiled coils association rate $\gamma_1$ 7.3 * 10$^{-6}$ nM$^{-1}$ s$^{-1}$ DeCrescenzo:2003
weaker coiled coils dissociation rate $\gamma_2$ 1.67 * 10$^{-1}$ s$^{-1}$ DeCrescenzo:2003
time of light exposure / 60 s estimated from experimental results

  Results

We simulated the dynamics of established logic gates with the numerical integration of their mathematical models described in the previous paragraphs. The results of our simulations are shown in fig:buffer , fig:nor , fig:imply and fig:nimply . They confirm our assumption that all four types of logic functions offer shorter delay compared to their equivalents based on genetic regulatory networks. The rise and fall times of our gates are simulated to be at around 70 seconds compared to hours that transcription regulation circuits usually require.

$x_1$. The output concentration of the logical function $x_1$ is shown with both possible inputs in the following order 0, 1.
$x_1$ NOR $x_2$. The output concentration of the logical function $x_1$ NOR $x_2$ is shown with all four possible inputs in the following order (0,0), (0,1), (1,0), (1,1).
$x_2$ imply $x_1$. The output concentration of the logical function $x_2$ imply $x_1$ is shown with all four possible inputs in the following order (0,0), (0,1), (1,0), (1,1).
$x_1$ nimply $x_2$. The output concentration of the logical function $x_1$ nimply $x_2$ is shown with all four possible inputs in the following order (0,0), (0,1), (1,0), (1,1).

Our system also allows us to shorten the lifetime of the output signal without significantly reducing its concentrations by adding degradation tags to the output protein. The high output times achieved can even be similar to the input light induction time of 1 minute. These two characteristics can importantly influence several sequential induction of logic gates and the further development of several layered logic circuits.

Shortened output time due to the addition of degradation tags to the output protein.

 References